Chương 120: Ba định lý

Định lý cốt lõi của khung thống nhất hình học symplectic Gu.

Dừng lại một lát, gạch bỏ chữ “Gu”, đổi thành “Gu-Symplectic”.

Như vậy sẽ chính xác hơn, vừa bao hàm được cống hiến của chú Gu, vừa chỉ rõ được lĩnh vực.

Trong hình dung của cậu, thế giới của lý thuyết Gu-Symplectic được khắc họa bởi ba định lý ngắn gọn:

Đầu tiên, là bảo toàn xoay.

Bản chất cốt lõi nhất của bất kỳ một đa tạp symplectic nào cũng đều có thể bị nắm giữ một cách chặt chẽ bởi một “biến lượng xoay không đổi”.

Thứ này giống như mô-men động lượng trong thế giới vật lý, mặc cho cậu biến đổi góc nhìn hay chuyển đổi tọa độ thế nào, nó vẫn nằm vững ở đó, khắc họa tính chất xoay ở tầng đáy sâu nhất của không gian.

Thứ hai, là phân cấp rõ ràng.

Tất cả các đa tạp symplectic, bất kể đơn giản hay phức tạp, đều có thể dựa vào “độ phức tạp xoay” nội tại của chúng để sắp xếp trên một bậc thang rõ ràng.

Tầng đáy là những vòng xoay đơn giản, càng đi lên trên, cấu trúc càng trở nên chằng chịt phức tạp, mà mỗi một bậc thang đều có tiêu chuẩn phân chia không thể tranh cãi của riêng nó.

Cuối cùng, mọi thứ đều có thể tính toán.

Chỉ cần cậu có thể đưa ra hình dáng cụ thể của một đa tạp symplectic, bất kể là một nhóm phương trình, một đoạn mô tả tô pô, hay là một mô hình vật lý, thì nhất định sẽ tồn tại một thuật toán nào đó tính ra được tọa độ chính xác của nó trong bức tranh vĩ đại này.

Tiêu Túc chăm chú nhìn ba định lý này, đôi lông mày khẽ nhíu lại.

Điều thứ nhất có vẻ không có vấn đề gì, bảo toàn xoay vốn dĩ đã là tư tưởng cốt lõi của hình học symplectic.

Điều thứ hai thì hơi rắc rối một chút.

“Mức độ phức tạp” nên định nghĩa thế nào đây?

Chiều không gian của vòng xoay?

Tính đối xứng của vòng xoay?

Hay là cường độ liên kết giữa vòng xoay và độ cong của không gian?

Điều thứ ba là khó khăn nhất.

Phải thiết kế ra một thuật toán phổ quát có thể xử lý tất cả các ví dụ về đa tạp symplectic đã biết.

Từ mặt phẳng symplectic hai chiều đơn giản nhất, cho đến cấu trúc sáu chiều phức tạp như đa tạp Calabi-Yau, rồi đến không gian symplectic vô hạn chiều xuất hiện trong vật lý lý thuyết…

Nhưng khó không có nghĩa là không thể.

Tiêu Túc nhớ lại trải nghiệm của bản thân khi chứng minh giả thuyết Chu.

Khi đó tất cả mọi người đều cho rằng, sự phân bố của số nguyên tố Mersenne căn bản không thể có công thức chính xác, bởi vì bản thân số nguyên tố giống như những hạt cát rải ngẫu nhiên trên trục số.

Nhưng cậu đã nhảy ra khỏi khung lý thuyết số giải tích truyền thống, dùng góc nhìn hoàn toàn mới của lý thuyết nhóm và lý thuyết biểu diễn để cố công tìm ra quy luật ẩn giấu đó.

Tình hình hiện tại cũng tương tự.

Mọi người đều nghĩ hình học symplectic quá phức tạp, không thể có một khung phân loại thống nhất, bởi vì các ví dụ quá đa dạng, cấu trúc quá phong phú.

Nhưng có lẽ, chính sự phức tạp bề ngoài này đã che lấp đi sự đơn giản ở tầng đáy.

Tiêu Túc tiếp tục viết trên giấy.

Nếu anh ấy thành công xây dựng được khung sườn ấy, chuyện gì sẽ xảy ra?

Trước hết, tất cả những bài luận văn của Cố Thanh Sâm sẽ được xem xét lại. Những công trình về phép đo trọng lượng, cấu trúc song sinh, lớp cơ sở ảo vốn chỉ là những đột phá kỹ thuật đơn lẻ, giờ đây sẽ trở thành những trường hợp đặc biệt hay dạng tiên phong của một vài toán tử then chốt trong khung sườn mới. Danh tiếng của chú ấy sẽ được ghi vào phần mở đầu của sách giáo khoa với tư cách là “nhà thám hiểm quan trọng nhất trong đêm trước kỷ nguyên mới”.

Tiếp theo, toàn bộ lĩnh vực hình học xanh sẽ bị tổ chức lại triệt để. Các học giả không còn phải học bảy tám thứ ngôn ngữ phân loại khác nhau, không còn phải tranh cãi dai dẳng về cùng một khái niệm. Mọi người sẽ có chung một tấm bản đồ, một hệ tọa độ thống nhất, một bảng thuật ngữ chuẩn. Năm mươi năm hỗn loạn tích tụ sẽ được dọn sạch trong vòng một năm.

Rồi đến vật lý học. Lý thuyết dây, thuyết trường lượng tử, cơ học thống kê… những ngành vật lý sử dụng hình học xanh làm công cụ mô tả. Trước đây, các nhà vật lý mang vấn đề đến tìm nhà toán học, thường phải trải qua quá trình “dịch thuật” phức tạp bởi hai bên không dùng chung một ngôn ngữ. Với khung sườn thống nhất, cuộc đối thoại ấy sẽ trở nên trực tiếp và hiệu quả. Có lẽ vài bài toán nan giải suốt mấy chục năm trong giới vật lý sẽ nhờ đó mà hé rạng bình minh đột phá.

Cuối cùng, là bản thân toán học. Một khung sườn tốt không chỉ giải quyết vấn đề cũ, mà còn khơi dậy những vấn đề mới. Khi tấm bản đồ các vì sao được trải ra, những khoảng trống trơn sẽ trở nên nổi bật lạ thường. Ở đó có những đa tạp xanh kỳ lạ nào? Chúng sẽ có những tính chất đặc biệt gì? Liệu có tồn tại những cấu trúc vượt xa trí tưởng tượng toán học hiện nay?

Tiêu Tú ngừng bút, tay trái chống cằm. Trời dần tối, những ngọn đèn đường trong khuôn viên trường lần lượt bật sáng. Trong phòng thí nghiệm, mấy người khác vẫn đang bàn tán khẽ điều gì đó, trong giọng nói thoát ra niềm hứng khởi không thể kìm nén.

Anh nghĩ, món quà ấy đủ rồi.

Một hệ tọa độ vũ trụ mới. Một tấm bản đồ có thể giúp những “hành tinh quay cuồng” trong suốt cuộc đời nghiên cứu của chú ấy tìm thấy vị trí vĩnh hằng của chính mình. Một định lý thống nhất thực sự: “Định lý Khung sườn Xanh-Cố”.

Còn mười chín ngày nữa là đến sinh nhật chú ấy. Thời gian rất gấp.

Nhưng anh đã bắt đầu hình dung trong đầu những ý tưởng sơ bộ đầu tiên về cách biến phép đo trọng lượng thành bất biến quay. Nếu chứng minh được bổ đề ấy, cột trụ đầu tiên của toàn bộ khung sườn sẽ được dựng đứng.

Sảnh Tú mở ra một cửa sổ mới trên trình biên tập mã nguồn. Có thể viết muộn hơn, nhưng trực giác cần được kiểm chứng trước.

Anh chuẩn bị viết một chương trình nhỏ, dùng phương pháp số để thử nghiệm vài ví dụ về đa tạp symplectic đơn giản, xem liệu "bất biến quay" mà mình hình dung có thực sự hoạt động như mong đợi.

Đêm đã khuya, đèn trong phòng thí nghiệm của nhóm nghiên cứu vẫn còn sáng.

Sảnh Tú ngồi trước màn hình máy tính, đầu ngón tay lơ lửng trên bàn phím, chưa buông xuống.

Đã một tuần kể từ khi anh nảy ra ý tưởng "tặng một định lý", nhưng khi bắt đầu xây dựng thứ gọi là "Khung thống nhất Cố-Tấn", anh mới nhận ra món quà này nặng nhọc đến thế nào.

Bên ngoài cửa sổ, màn đêm tĩnh lặng. Bên trong chỉ còn tiếng quạt máy kêu đều đều.

Sảnh Tú nhìn vượt qua những dòng mã chưa hoàn thành trên màn hình, dừng lại ở tờ giấy nháp bên cạnh.

Trên đó là bản sao bài báo của Cố Thanh Đàn, mép giấy đã sờn cũ.

Đó là bài "Cấu trúc lớp cơ bản ảo trong không gian xạ ảnh có trọng số", công trình ông công bố trên Tạp chí Hình học Đại số tám năm trước.

Ở góc trống trang thứ ba, có một dòng chữ nhỏ viết bằng bút chì của Cố Thanh Đàn: "Bản chất của lớp ảo, có lẽ nằm ở sự phân bố của trọng số."

Nét chữ sắc sảo, toát lên sự thận trọng của một nhà toán học.

Sảnh Tú nhìn dòng chữ ấy rất lâu.

Chú Cố nói đúng, nhưng chưa đủ thấu đáo.

Trọng số, lớp cơ bản ảo, dung lượng symplectic... Những công cụ đã phát triển hàng chục năm trong lĩnh vực hình học symplectic, mỗi thứ giống như phần mà người mù sờ voi.

Chúng đều thật, đều quan trọng, nhưng chưa ai có thể nói được hình dáng toàn bộ con voi.

"Tiểu Trí." Sảnh Tú gọi khẽ.

Một hộp thoại tự động bật lên ở góc phải dưới màn hình: "Dạ."

"Trình chiếu tất cả định nghĩa và ví dụ về khái niệm 'trọng số' trong các bài báo của Giáo sư Cố Thanh Đàn, thực hiện phân tích đối chiếu."

"Đang xử lý."

Câu trả lời của Tiểu Trí hiện ra gần như tức thì. "Tìm thấy 17 luận điểm liên quan, chủ yếu phân bố trong sáu bài báo công bố từ năm 2009 đến 2015.

Phân tích cho thấy định nghĩa của giáo sư Cố về 'trọng số' đã trải qua ba lần biến đổi: giai đoạn đầu như một hệ số hiệu chỉnh đo lường hình học, giai đoạn giữa phát triển thành công cụ kỹ thuật giải kỳ dị, giai đoạn sau cố gắng so sánh với 'hằng số coupling' trong vật lý.

Có cần trực quan hóa không?"

"Hiển thị."

Ngay lập tức, một biểu đồ mạng ba chiều xuất hiện trên màn hình.

Các nút là bài báo, các đường nối là sự dẫn chiếu khái niệm, độ đậm nhạt thể hiện trình tự thời gian.

Toàn bộ bức tranh giống như một cái cây đang sinh trưởng, từ thân chính tỏa ra cành nhánh, cành nhánh lại đâm chồi non.

Sảnh Tú nhìn biểu đồ ấy, đột nhiên nảy ra một ý tưởng.

Nếu... nếu coi quãng đường khám phá mười mấy năm của chú Cố như một tiến trình tiến gần dần tới một chân lý lớn hơn thì sao?

Những kỹ thuật trọng lượng dường như độc lập ấy, những kiến tạo ảo, những giải quyết kỳ dị, liệu có phải chăng đều là những mặt cắt khác nhau của cùng một viên kim cương?

Ý nghĩ ấy như một tia lửa nhỏ, bừng sáng giữa màn đêm tư duy.