Chương 143: Không thấy đỉnh núi

“Trước tiên, chúng ta cần một không gian. Những nghiên cứu truyền thống về lý thuyết số vốn được tiến hành trên trục số nguyên, nhưng trục số nguyên quá đơn giản, không thể chứa đựng toàn bộ cấu trúc của số nguyên tố. Chúng ta cần một không gian đa chiều, có thể đồng thời mã hóa thông tin nhân tính và thông tin cộng tính của số nguyên tố.” Anh ấy mở slide tiếp theo, trên đó là một biểu đồ minh họa: một vòng tròn khổng lồ, trên đó đánh dấu vô số chấm nhỏ.

“Không gian này được gọi là không gian đặc trưng Cố-Tân, ký hiệu là X. Cấu trúc của nó lấy cảm hứng từ vòng Ađel, nhưng đã được cải tiến bằng hình học symplectic.” Rồi, Tiểu Túc bắt đầu giải thích phương pháp xây dựng X. Làm thế nào để kết hợp mỗi trường số p-adic tương ứng với số nguyên tố p, định nghĩa ánh xạ nhúng φ, cách gán cấu trúc tôpô.

“Bước tiếp theo là bước then chốt,” Tiểu Túc nói, “chúng ta cần định nghĩa một độ đo trên không gian này, sao cho các cặp số nguyên tố sinh đôi có cùng khoảng cách dưới độ đo đó.”

Anh ấy mở slide tiếp theo, trên đó là một công thức:

Khoảng cách tương quan ρ(m,n) = tổng trên mọi số nguyên tố p không chia hết (m−n) của ω(p) + nếu 2 chia hết (m−n) thì cộng thêm ω(2)

Trong đó trọng số ω(p) = −log(11/(p−1)²) đối với p > 2

“Việc lựa chọn trọng số này không hề ngẫu nhiên. Giả thuyết thứ hai của Hardy-Littlewood đưa ra công thức tiệm cận cho các cặp số nguyên tố sinh đôi, trong đó hằng số C chính là tích ∏_{p>2}(1−1/(p−1)²). Và tổng trọng số của chúng ta, đúng bằng −logC.”

Dưới khán đài, Terence Tao thoáng chợt hiểu ra.

Anh ấy nhận ra, Tiểu Túc đã nhúng hằng số ấy vào độ đo, khiến cho các cặp số nguyên tố sinh đôi tự động có cùng giá trị khoảng cách.

“Vì vậy,” Tiểu Túc tiếp tục nói, “đối với các cặp số nguyên tố sinh đôi (p,p+2), khoảng cách tương quan ρ của chúng là một hằng số. Còn đối với các cặp không phải sinh đôi, ρ sẽ khác biệt.”

Anh ấy dừng lại, nhìn xuống khán đài: “Nói cách khác, các cặp số nguyên tố sinh đôi chính là những cặp điểm đặc biệt có cùng khoảng cách trong X.”

Câu nói nhẹ nhàng ấy nhưng lại gây chấn động không nhỏ dưới khán đài.

“Anh ấy đã chuyển bài toán thành một vấn đề hình học,” Shultz thì thào với Faltings ngồi bên cạnh, “tìm kiếm những cặp điểm có cùng khoảng cách trong X.”

Faltings gật đầu, không nói lời nào, nhưng ánh mắt anh ấy rất tập trung.

Tiểu Túc bắt đầu giới thiệu cấu trúc symplectic, cách định nghĩa một dạng symplectic Ω trên X, chứng minh phép tịnh tiến là symplectomorphism, xây dựng phép đối hợp.

Rồi anh ấy nhắc đến khái niệm cốt lõi, tức là đại lượng bảo toàn xoay.

“Trong lý thuyết Cố-Tân, mọi đa tạp symplectic đều có một đại lượng bảo toàn xoay, tương tự như động lượng góc trong vật lý. Đối với X, đại lượng này có thể tính thông qua hàm phân vùng.”

Anh ấy mở slide tiếp theo, trên đó chỉ là một dòng chữ đơn giản:

Hàm phân vùng Z(N) = tổng trên mọi số nguyên tố p không vượt quá N của e^{−ρ(p,p+2)}

Đại lượng bảo toàn xoay Q = lim_{N→∞}(logZ(N)/logN)

“Để tính giới hạn này, cần sử dụng định lý số nguyên tố và một số công cụ của giải tích số học,” Tiểu Túc nói, “nhưng kết quả cuối cùng rất đơn giản: Q=logC, trong đó C chính là hằng số sinh đôi, xấp xỉ 1.32.”

Dưới khán đài, Serre gật đầu.

Anh ấy vừa nhìn thấy cách chứng minh này trong ghi chú của Deligne, từng bước đều vững chắc.

“Nếu chỉ có hữu hạn cặp số nguyên tố sinh đôi, thì khi N đủ lớn, Z(N) không còn thêm hạng tử mới, tổng tiến tới hằng số. Vì vậy logZ(N) tiến tới hằng số, còn logN tiến tới vô cùng, nên Q=−∞.”

“Nhưng mặt khác, từ tính chất toàn cục của sự phân bố số nguyên tố, ta tính được Q=logC, một số dương hữu hạn.”

“Mâu thuẫn.”

“Do đó, giả thuyết ấy không thể đúng. Phải có vô hạn cặp số nguyên tố sinh đôi.”

Xiao Túc kết thúc phần trình bày, theo quy trình là đến phần đặt câu hỏi. Nhưng trong hội trường ba trăm chỗ ngồi kia im lặng đến mức không một tiếng chim hót. Chẳng có ai giơ tay. Không phải vì không muốn hỏi, mà bởi quá nhiều câu hỏi ùa về khiến họ không biết phải bắt đầu từ đâu. Cảm giác ấy giống như đứng dưới chân một ngọn núi cao, ngước nhìn lên chỉ thấy mây mù che phủ, chẳng thấy đỉnh núi đâu.

Mọi người vẫn đang trong giai đoạn xử lý những thông tin vừa nhận được, vẫn cố gắng thấu hiểu ý nghĩa của luận chứng ấy.

Im lặng kéo dài. Rồi Deligne động lòng.

Anh đứng dậy khỏi ghế, quay người đối mặt với toàn bộ khán giả dưới hội trường, nói một câu:

“Đây là một phương pháp chứng minh độc đáo, vô song.”

Giọng không lớn, nhưng mọi người đều nghe rõ.

Ngay lập tức, hội trường bùng nổ những tràng vỗ tay nồng nhiệt. Có người huýt sáo, có người hô “Bravo”, thậm chí có người giậm chân mạnh mẽ.

Ser cũng đứng dậy, cùng vỗ tay.

Schultz đứng dậy. Faltings đứng dậy. Terence Tao đứng dậy. Gowers đứng dậy. Harris đứng dậy…

Bảy vị đại sư toán học ngồi hàng đầu đều đứng dậy.

Rồi đến hàng thứ hai, hàng thứ ba… Toàn bộ hội trường ba trăm người, tất cả đều đứng dậy.

Tiếng vỗ tay như sấm, kéo dài một phút, hai phút, ba phút… Chẳng ai dừng lại.

Xiao Túc đứng trên bục giảng, nhìn xuống đám đông đang đứng dậy, nhìn những huyền thoại toán học đang vỗ tay dành cho mình, nhìn ánh mắt ngấn lệ lóng lánh trong mắt Cố Thanh Sâm, nhìn những biểu cảm cuồng nhiệt của đám sinh viên trẻ nơi cuối hội trường.

Chẳng ai biết anh đang nghĩ gì.

Cuối cùng, tiếng vỗ tay cũng dần lắng xuống.

Deligne bước lên bục giảng, ra hiệu cho mọi người im lặng.

Rồi anh quay sang Xiao Túc, bằng giọng hơi khàn đặc, nói:

“Xiao, tôi có thể đặt một câu hỏi được không?”

Xiao Túc gật đầu.

“Khi anh định nghĩa khoảng cách tương quan, việc lựa chọn trọng số ω(p) vô cùng quan trọng. Tại sao lại là công thức —log(1—1/(p—1)²)? Hình thức ấy trông rất tự nhiên, nhưng anh đã nghĩ ra nó như thế nào?”

Xiao Túc suy nghĩ một lát, rồi nói: “Bởi vì cần sự hội tụ của tổng, lại phải liên kết với hằng số Hardy—Littlewood, đây là lựa chọn phù hợp nhất.”

“Tại sao anh lại cho rằng nó là phù hợp nhất?” Deligne tiếp tục hỏi.

“Chuyện ấy dễ suy luận thôi.”

Deligne im lặng một lát, rồi cười: “Ha, tin tôi đi, Xiao, rất nhiều người cả đời cũng không nghĩ ra nổi. Anh sở hữu tài năng và trực giác vô song.”

Dưới hội trường lại vang lên tiếng cười và tràng vỗ tay.

Tôi cũng cau mày cười gượng vỗ tay, tài năng và trực giác của đứa trẻ ấy khiến không ai có thể ấn tượng sâu sắc hơn tôi.

Schultz giơ tay thắc mắc:

“Tôi muốn hỏi về cấu trúc của dạng thức Ω. Ngài chọn trọng số λ_p = 1/(p(log p)^2), sự lựa chọn này nhằm đảm bảo chuỗi hội tụ. Nhưng liệu có trọng số nào khác cũng có thể đem lại kết luận tương tự không?”

Xiao Su gật đầu:

“Có. Chỉ cần trọng số suy giảm đủ nhanh và đảm bảo phép biến đổi tịnh tiến là một đối xứng chính tắc, giá trị cụ thể không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng. Trọng số này đơn giản nhất.”

Cũng như Einstein từng nói:

“Cái đẹp, về bản chất cuối cùng, chính là sự đơn giản.”

Đối với Xiao Su, sức mạnh của toán học nằm ở chỗ dùng ngôn ngữ tinh tế nhất để vén mở những quy luật phổ quát nhất, trong quá trình lựa chọn ấy, anh ấy sẽ tự nhiên chọn dạng thức đơn giản nhất.

Đó chính là cảnh giới mà vô số nhà toán học theo đuổi suốt đời.

“Đơn giản.” Schultz lặp lại từ ấy, rồi quay sang Falting nói bên cạnh,

“Không gì sánh bằng.”

Falting hiếm hoi nở một nụ cười:

“Genau.”