Chương 147: Họ chỉ mới bắt đầu

Trên trang cuối cùng, Gödel viết bằng tiếng Đức thông thường một câu ngắn gọn: “Nếu tồn tại một mô hình trong đó continuum là ℵ₂, thì nhất định phải tồn tại một dạng đối xứng nào đó, khiến mọi tập hợp số thực đều sở hữu một tính chất bất biến. Nhưng thứ đối xứng ấy sẽ phá vỡ tiên đề lựa chọn.”

Tiểu Súc nhìn chằm chằm vào câu ấy, tâm trí chợt ngưng trệ.

Trước đây anh từng chứng minh giả thuyết song sinh nguyên tố bằng cách chuyển bài toán sàng lọc thành tính toán đối đồng điều biểu diễn nhóm, rồi lợi dụng tính cứng của biểu diễn mà rút ra tính tất yếu. Năm ấy Gödel cũng đang nghĩ đến những điều tương tự. Chỉ khác là ông không quan tâm đến sự phân bố của số nguyên tố, mà là tính đối xứng của tập hợp số thực. Ông cố gắng dùng “tính chất bất biến” nào đó để khắc họa cấu trúc của mô hình, nhưng bị tiên đề lựa chọn chặn lại. Sau này Cohen dùng phương pháp ép lực để vượt qua chướng ngại ấy, còn trong bản thảo của Gödel, lại giấu kín một lối đi khác chưa từng khai thông.

Bàn tay Tiểu Súc khẽ lật sang trang.

Mấy trang sau là những phác thảo về vũ trụ xoay chuyển. Gödel vẽ một sơ đồ minh họa, cố gắng thể hiện trong một vũ trụ xoay toàn thể, ánh sáng thế nào để đi theo đường cong kiểu thời gian khép kín quay về quá khứ. Những bức phác thảo ấy vẽ rất tùy tiện, nhưng trực giác hình học bộc lộ ra lại khiến người ta kinh ngạc.

Tiểu Súc gấp hộp 4a lại, cầm lấy tập thư từ Gödel- Einstein.

Trên giấy thư của Einstein, phần đầu đề in dòng chữ “Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton”.

Ngày tháng là 15 tháng 4 năm 1949.

Nét chữ của ông vừa vội vàng vừa mạnh mẽ, phần lớn viết bằng tiếng Đức, thỉnh thoảng xen lẫn vài từ tiếng Anh.

Tiểu Súc lướt nhanh nội dung, ánh mắt dừng lại ở đoạn giữa:

“Lieber Gödel, Ihre Lösungen reisen möglich sind, dann ist die Kausalität glaub an die Kausalität.”

“Gửi Gödel thân mến, những nghiệm phương trình trường của ngài về mặt toán học là không thể chê trách. Nhưng cách giải thích vật lý khiến tôi lo lắng. Nếu du hành thời gian là khả thi, thì nhân quả sẽ tiêu tan. Còn tôi thì tin vào nhân quả.”

Thư trả lời của Gödel rất điềm tĩnh, phân tích từng luận điểm của Einstein. Ông thừa nhận du hành thời gian về mặt vật lý có thể đem lại nghịch lý, nhưng chỉ ra rằng những nghịch lý ấy về mặt toán học có thể được định nghĩa chặt chẽ, chưa hẳn đã dẫn đến mâu thuẫn logic. Cuối cùng ông viết ra một ý tưởng độc đáo của riêng mình:

“Die Zeit ist kein Kontinuum, sondern eine Mannigfaltigkeit.”

“Thời gian không phải là một continuum, mà là một đa tạp.”

Tiểu Súc nhìn câu ấy, mắt sáng lên, thu nhiếp suy tư một lúc.

Dường như anh vừa thoáng nghĩ đến điều gì khác.

Sau đó, vào tháng 5 năm 1949, trong thư hồi đáp gửi đến, Einstein viết như sau:

“I feel, es ist die Geometrien nicht die ganze Wahrheit.”

“Tôi cảm thấy, có lẽ hình học không phải toàn bộ chân lý.”

Godel và Einstein tranh luận, về bản chất, xoay quanh mối quan hệ giữa "hình học" và "động lực học". Einstein tin rằng hình học đủ sức mô tả vạn vật, nên suốt nửa đời sau ông theo đuổi thuyết trường thống nhất. Còn Godel thì thận trọng hơn, ông cho rằng hình học có thể chỉ là bề nổi, cái sâu xa hơn nằm ở cấu trúc lôgic.

Nhưng Xiao Su vẫn thấy những điều ấy đều chưa đủ toàn diện. Dạo gần đây, anh cứ miên man suy nghĩ về nghiệm tổng quát của phương trình NS. Vấn đề phức tạp vô cùng. Nghiệm của phương trình NS có tồn tại điểm kì dị? Xung quanh điểm kì dị sẽ xảy ra chuyện gì? Những câu hỏi ấy đòi hỏi không chỉ trực giác hình học thuần túy, cũng chẳng phải chỉ là kĩ xảo đại số, mà là một khung sườn có thể dung hòa hình học, giải tích, đại số.

Từ nền tảng toán học của cơ học lượng tử, đến cấu trúc hình học của thuyết tương đối rộng, rồi lý thuyết pha của cơ học thống kê. Những lĩnh vực ấy giao thoa cùng toán học, ranh giới mơ hồ, nhưng chính ở chốn mơ hồ ấy thường ẩn chứa những manh mối khai phá mới.

Anh gập tài liệu thư từ giữa Godel và Einstein lại, ký vào phiếu đăng ký rồi đứng dậy bước về phía giá sách khác. Người quản thư thấy động tác ấy, khẽ hỏi:

"Cần giúp đỡ không?"

"Hồ sơ của Hermann Weyl."

Anh muốn biết, vị triết gia xuyên suốt toán học và vật lý ấy, trong cơn hỗn mang ấy đã suy tưởng thế nào. Từ những nền tảng toán học cho thuyết tương đối rộng trong tác phẩm *Không gian-Thời gian-Vật chất*, đến những nỗ lực kiên trì sau này về "tính bất biến thang đo" trong lý thuyết trường chuẩn, Weyl suốt đời truy tìm mối liên hệ sâu xa giữa hình học và vật chất, ông luôn cố gắng dùng những cấu trúc toán học tinh tế hơn để nắm bắt tính thống nhất của tự nhiên.

Xiao Su nghĩ, có lẽ Weyl chẳng tin như Einstein vào tính tối thượng của hình học, cũng chẳng lui về sự thuần khiết của lôgic như Godel.

Người quản thư gật đầu, nhanh chóng mang đến một hộp tài liệu khác.

Bản thảo của Weyl ngăn nắp hơn nhiều so với Godel. Nét chữ rõ ràng, thanh thoát, mỗi trang đều ghi ngày tháng, đánh số thứ tự, các phép biến đổi công thức trau chuốt đến mức có thể đem in ngay. Nhưng nhìn kỹ, vẫn thấy ở lề trang có những ghi chú bằng bút chì, có chỗ bị gạch bỏ viết lại, có chỗ còn vẽ những sơ đồ hình học nhỏ xíu.

Xiao Su lật đến phần viết khoảng năm 1931. Đó là giai đoạn Weyl viết *Lý thuyết nhóm và cơ học lượng tử*. Trong bản thảo có vô số phép biến đổi về lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, đặc biệt là biểu diễn của nhóm quay SO(3) và SU(2). Những nội dung ấy sau này trở thành giáo trình chuẩn, nhưng trong bản thảo vẫn còn một vài chi tiết không xuất hiện trong bản in cuối.

Chẳng hạn, một trang ghi chú sớm về "trường chuẩn".

Weyl viết bằng tiếng Đức:

"Nếu ta địa phương hóa phép biến đổi pha, ta phải đưa vào một trường bù, tương tự như liên thông trong thuyết tương đối rộng. Quy luật biến đổi của trường ấy hoàn toàn giống với thế năng điện từ. Có lẽ phương trình Maxwell chính là hệ quả hình học của tính bất biến pha địa phương."

Bên dưới có một sơ đồ nhỏ, cố gắng thể hiện sự di chuyển song song trên bó sợi.

Xiao Su nhìn chằm chằm vào trang ghi chú, trong đầu vụt hiện lên một loạt hình ảnh. Bó sợi, liên thông, độ cong, trường chuẩn...

Những khái niệm này sau này đã trở thành nền tảng cho lý thuyết Yang-Mills, đồng thời cũng là ngôn ngữ toán học của Mô hình Chuẩn trong vật lý hạt. Vào năm 1931, Weyl đã từng chạm tới những tư tưởng này, nhưng lúc đó cơ học lượng tử vẫn còn đang phát triển, lý thuyết nhóm vẫn chưa trở thành công cụ tiêu chuẩn của các nhà vật lý.

Anh lật vài trang, nhìn thấy một đoạn suy luận trừu tượng hơn nữa. Weyl cố gắng kết hợp ý tưởng về trường chuẩn với thuyết trường afin của Eddington, nhằm xây dựng một lý thuyết thống nhất. Ông viết một loạt phương trình tensor dài dằng, rồi gạch dưới cùng một dòng, viết một từ: “Nochnichtklar.” (Vẫn chưa rõ ràng.) Và đó chính xác là vấn đề mà Hiệu hiện giờ đang đối mặt.

Phương trình NS, thuyết trường lượng tử, thuyết tương đối rộng… Những lý thuyết này đều thành công riêng biệt, nhưng khoảng cách giữa chúng lại quá lớn. Để mô tả chúng bằng một ngôn ngữ toán học thống nhất, cần không chỉ trực giác vật lý, mà còn là những cấu trúc toán học sâu xa.

Những gì Weyl muốn làm hồi ấy, cũng giống như những gì Hiệu đang cố gắng thực hiện bây giờ, về mặt cấu trúc là đẳng cấu. Làm thế nào để mô tả đối xứng bằng lý thuyết nhóm? Làm thế nào để mô tả động lực học bằng hình học? Làm thế nào để tìm ra những xấp xỉ hợp lý gần các kỳ dị? Những câu hỏi này không có câu trả lời chuẩn mực, chỉ có những nét bút còn sót lại nơi tận cùng của suy nghĩ của người đi trước, để ta thấy họ đã bị kẹt ở đâu, đi vòng như thế nào, và cuối cùng đã đến được đâu.

Hiệu lật tiếp, nhìn thấy một trang toàn là những bản phác thảo đầy sơ đồ. Ở đây, Weyl cố gắng thể hiện mối quan hệ đồng cấu giữa nhóm xoay ba chiều SO(3) và nhóm unita hai chiều SU(2). Sự tương ứng ấy là cốt lõi của biểu diễn luận nhóm Lie, cũng chính là công cụ ông thường xuyên sử dụng trong nghiên cứu học máy tự giám sát.

Anh đóng hộp tài liệu lại, viết vài dòng vào cuốn sổ:

“Weyl: Trường chuẩn → Hình học liên thông.

Gödel: Đa tạp thời gian → Cấu trúc lô-gíc.

Einstein: Thống nhất hình học → Khủng hoảng nhân quả.

Làm thế nào mô tả sự phá vỡ đối xứng gần các kỳ dị?

Có lẽ liên quan đến sự tồn tại nghiệm của phương trình NS.”

Anh nhìn đồng hồ, đã đến lúc hoàng hôn.

Hiệu đứng dậy, đặt hộp tài liệu trở lại chỗ cũ, rồi ký vào bảng đăng ký. Người quản thư nhẹ nhàng hỏi: “Ngày mai anh còn đến chứ?”

“Ừ.”

Hiệu bước ra khỏi phòng sách quý, men theo hành lang trở về phía thang máy. Trong đầu anh vẫn vương vấn những dấu vết từ những bản thảo ấy.

Những dấu vết ấy không đưa ra câu trả lời.

Nhưng vấn đề mà những người đi trước từng suy tư, và vấn đề mà anh đang suy tư bây giờ, đều chỉ là những khía cạnh khác nhau của cùng một câu hỏi. Về tính đối xứng, về kỳ dị, về cách dùng toán học để mô tả cấu trúc nền tảng của thế giới. Vấn đề mà Tiêu Tú đang đối mặt bây giờ, dường như có một sự tương ứng nào đó với những cuộc tranh luận của họ.

Bước ra khỏi thư viện, Deligne đang đứng trên bậc thềm chờ anh.

"Thế nào?" Deligne hỏi.

Tiêu Tú im lặng một lúc, rồi nói:

"Phương pháp của họ đều rất hay. Nhưng có những vấn đề, họ mới chỉ bắt đầu."

Deligne nhìn anh, trong mắt anh thoáng lóe lên một tia sáng.

"Còn anh thì sao?" Deligne hỏi tiếp.

Tiêu Tú khẽ mím môi, không trả lời.