Chương 138: Tìm sao

1. Tiểu Long nghĩ đến lý thuyết nhóm và tính đối xứng.

2. Với mỗi số nguyên tố p, xét tập hợp {p, p+2}.

3. Nếu cả hai đều là số nguyên tố, tập hợp ấy sẽ trở nên đặc biệt.

4. Liệu có thể định nghĩa một “nhóm đối xứng của các cặp song sinh nguyên tố”?

5. Chẳng hạn, xét mọi phép thế σ trên các số nguyên, sao cho nếu {p, p+2} là một cặp song sinh nguyên tố, thì {σ(p), σ(p+2)} cũng là một cặp song sinh nguyên tố, đồng thời giữ nguyên khoảng cách hai đơn vị.

6. Tính đối xứng như vậy có lẽ quá mạnh, có thể chỉ tồn tại những phép thế tầm thường.

7. Vậy thì nới lỏng điều kiện, chỉ yêu cầu giữ được “mối quan hệ song sinh” theo mật độ tiệm cận, chứ không cần giữ chính xác.

8. Một định nghĩa hiện ra trên giấy:

9. Đặt T là tập hợp của tất cả các cặp song sinh nguyên tố.

10. Định nghĩa “nhóm tự đẳng cấu tiệm cận” Aut_ε(T) là tập hợp tất cả các phép thế σ trên các số nguyên thỏa mãn điều kiện sau:

11. Khi N→∞, |{p≤N: {p, p+2}∈T và {σ(p), σ(p+2)}∈T}| / |{p≤N: {p, p+2}∈T}| →1

12. Những σ như vậy lập thành một nhóm.

13. Nghiên cứu cấu trúc của nhóm này, có lẽ sẽ vén mở được tính đối xứng trong sự phân bố của các cặp song sinh nguyên tố.

14. Nhưng định nghĩa ấy lại phụ thuộc vào T vốn dĩ, trong khi T chính là thứ ta đang muốn nghiên cứu, rơi vào vòng luẩn quẩn.

15. Tiểu Long lắc đầu, tạm gác ý tưởng ấy sang một bên.

16. Anh đứng dậy lần nữa.

17. Đêm đông bầu trời sao thật trong vắt.

18. Ánh sáng nhân tạo ở Princeton không quá ô nhiễm, đủ để nhìn thấy vô số ngôi sao.

19. Tiểu Long ngước nhìn bầu trời, những ngôi sao ấy tạo thành đủ mọi hình thù trên nền đêm.

20. Người xưa thấy chòm sao, các nhà thiên văn hiện đại thấy thiên hà, quần tinh, cấu trúc vĩ mô của vũ trụ.

21. Số nguyên tố tựa như những ngôi sao trong vũ trụ toán học.

22. Chúng thoạt nhìn phân tán ngẫu nhiên, song nhất định ẩn chứa những cấu trúc bí ẩn.

23. Có lẽ… có lẽ câu trả lời không nằm ở từng số nguyên tố riêng lẻ, cũng không nằm ở những cặp song sinh, mà nằm ở “cấu trúc vĩ mô” trong sự phân bố của chúng.

24. Giống như những dao động nhiệt độ trong bức xạ nền vũ trụ, thoạt nhìn ngẫu nhiên, song lại mang mã những thông tin quan trọng về vũ trụ thuở sơ khai.

25. Liệu trong những “dao động” của sự phân bố số nguyên tố có mang mã những thông tin sâu sắc nhất về phép nhân trong tập hợp số nguyên?

26. Anh cúi đầu suy tư một lát, trong tâm trí, thế giới toán học đang mở rộng hoàn toàn trước mắt anh, vô số định lý và công cụ toán học lướt qua như đèn kéo quân, vén mở cho anh những ánh sáng tận sâu thẳm nhất, chỉ dẫn anh tìm thấy phương hướng.

27. Anh ngồi xuống trở lại, thử tìm kiếm cách chứng minh khác.

28. “Vẫn chưa đúng.”

29. Sau một hồi lâu, Tiểu Long bỏ bút xuống, xoa thái dương.

30. Năm 2013, Trương Dị Đường chứng minh được rằng tồn tại vô số cặp số nguyên tố mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn bảy mươi triệu.

Con số ấy dần dần bị thu hẹp lại, cuối cùng dừng chân ở con số 246, không thể tiến xa hơn nữa. Từ 246 đến 2, tưởng chừng chỉ cách nhau 244, 244 chia cho 2 bằng 122. Nhưng chính những bước "ngắn ngủi" ấy, mỗi bước lại chặn đứng vô số nhà toán học. Tiêu Tú hình dung trong đầu hình ảnh của phương pháp sàng truyền thống. Phương pháp sàng giống như dùng một tấm lưới để đánh bắt số nguyên tố, mắt lưới càng nhỏ thì bắt được càng nhiều thứ, nhưng tấm lưới ấy cũng càng dễ rách. Chứng minh "1+2" của Trần Cảnh Nhuân năm ấy, chính là dệt tấm lưới ấy đến giới hạn kỹ thuật của loài người. Năm mươi năm sau, không ai có thể tiến xa hơn nữa. Có lẽ vấn đề không nằm ở tấm lưới ấy. Có lẽ phải thay đổi cách chơi.

Anh lật mở cuốn sổ, tìm đến mấy trang về khung cảnh cố — tân. Ba tiên đề nằm im lặng ở đó: bảo toàn sự quay, phân tầng rõ rệt, vạn vật đều có thể tính toán. Bất kỳ đặc trưng cốt lõi nhất của một đa tạp chính nào cũng có thể bị nắm chặt bởi một "bất biến quay", thứ ấy giống như động lượng góc trong thế giới vật lý, bất kể bạn xoay chuyển góc nhìn thế nào, nó vẫn vững vàng ở đó.

Sự phân bố của số nguyên tố, liệu có tồn tại thứ "bất biến quay" ấy không?

Tiêu Tú nhắm mắt lại, để tư duy tự do trôi nổi. Anh nhìn thấy một trục số, trên đó rải rác những điểm nguyên tố—2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Những điểm ấy trông như phân bố ngẫu nhiên, nhưng nếu nhìn kỹ, dường như lại có thứ trật tự khó nói thành lời. Giữa 3 và 5 cách nhau 2, giữa 5 và 7 cách nhau 2, giữa 11 và 13 cách nhau 2, giữa 17 và 19 cách nhau 2... Những cặp điểm cách nhau 2 ấy, giống như những tần số cộng hưởng nào đó. Nếu...

Tiêu Tú đột nhiên mở mắt ra.

Nếu ta tưởng tượng trục số như một đa tạp một chiều, số nguyên tố chính là những điểm đặc biệt trên đó. Vậy thì song sinh nguyên tố chính là hai điểm đặc biệt cách nhau 2. Điều ấy giống như đang hỏi: trên đa tạp ấy, liệu có tồn tại vô số cặp điểm, khoảng cách "địa lý" giữa chúng bằng 2, và mỗi điểm ấy đều là một "điểm kỳ dị số học" nào đó?

Anh lại cầm lấy cây bút. Lần này, anh đổi sang một ngôn ngữ khác. Trong khung cảnh cố — tân, bất kỳ đối tượng toán học nào cũng có thể được gán cho một nhóm "tọa độ vũ trụ", đó là một tập hợp mã hóa nắm bắt những đặc trưng cốt lõi nhất của nó. Đối với sự phân bố số nguyên tố, thứ "tọa độ vũ trụ" ấy nên là gì?

Tiêu Tú bắt đầu xây dựng. Trước hết, anh cần nhúng toàn bộ số nguyên vào một không gian liên tục. Không phải trục số thực, thứ ấy quá tầm thường.

Anh ấy cần một không gian đa chiều có thể đồng thời mã hóa cấu trúc của phép nhân lẫn phép cộng. Bóng dáng của vành Adèle vụt qua tâm trí anh.

Đó là một công cụ chuẩn trong lý thuyết số đại số, kết hợp mọi trường p-adic ứng với mỗi số nguyên tố p cùng với trường số thực, tạo thành một vành tôpô khổng lồ. Việc nhúng của các số nguyên vào vành này là n↦(n,n,n,...), mỗi thành phần là ảnh của n trong sự hoàn chỉnh tương ứng.

Nhưng những gì Tiểu Túc muốn không phải là vành Adèle chuẩn, mà là một phiên bản đã được “tịnh tiến symplectic”. Anh viết dòng đầu tiên:

Định nghĩa 1 (Không gian đặc trưng Cố-Tân): Đặt X là tích hạn chế của các trường p-adic ứng với mọi số nguyên tố p, được trang bị cấu trúc tôpô bởi độ đo Cố-Tân. Với mỗi số nguyên n, định nghĩa phép nhúng φ:ℤ→X sao cho thành phần thứ p của φ(n) là giới hạn của n mod p^k.

Định nghĩa này không có gì mới mẻ. Nhưng sau đó, Tiểu Túc thực hiện bước đột phá quan trọng.

Anh giới thiệu một “hàm trọng số” ω(p)=(p—1)/p·logp. Hàm này xuất phát từ bài báo của anh đăng trên tạp chí *Inventiones Mathematicae* về ước lượng điểm hữu tỉ, nơi anh sử dụng hàm trọng số này để hiệu chỉnh sai số trong phân bố điểm.

Định nghĩa 2 (Độ đo trọng số): Với hai điểm x=(x_p) và y=(y_p) trong X, định nghĩa khoảng cách giữa chúng là d(x,y)=Σω(p)·|x_py_p|_p, trong đó |·|_p là giá trị tuyệt đối p-adic.

Độ đo này thật kỳ lạ. Nó là tổng có trọng số của các độ đo p-adic một chiều, với trọng số phụ thuộc vào kích thước của số nguyên tố. Những số nguyên tố lớn đóng góp nhiều hơn, những số nguyên tố nhỏ đóng góp ít hơn. Như thể nói, “tầm quan trọng” của số nguyên tố tỷ lệ thuận với kích thước của nó.

Sau khi viết xong định nghĩa, Tiểu Túc dừng lại. Độ đo này có hội tụ không?

Anh nhanh chóng ước lượng. Giá trị lớn nhất của |x_py_p|_p là 1, nên chuỗi bị khống chế bởi Σω(p). Mà Σω(p)~Σ(logp)/p, một chuỗi phân kỳ, giống như chuỗi điều hòa, chậm rãi nhưng kiên định hướng tới vô tận.

Vì thế d(x,y) có thể vô hạn.

Thế thì thú vị thật.

Chỉ khi x và y “đủ gần nhau”, khoảng cách mới hữu hạn.

Đôi mắt Tiểu Túc sáng lên.