Chương 139: Mê cung

Tay bút vẽ nhanh, những tờ giấy trắng dần dần được lấp đầy.

Định nghĩa 3 (Điều kiện sinh đôi): Hai số nguyên m và n là cặp số nguyên tố sinh đôi khi và chỉ khi:

1. φ(m) và φ(n) đều là "điểm kì dị số học" trong X, tức là ảnh tương ứng của các số nguyên tố;

2. d(φ(m),φ(n))=2; trong đó 2 là tổng có trọng số của mọi sự chênh lệch thành phần p.

Nếu m và n là cặp số nguyên tố sinh đôi, chẳng hạn 3 và 5, thì đối với hầu hết các số nguyên tố p, |3—5|_p=|—2|_p.

Đối với p≠2, |—2|_p=1, bởi vì —2 không chia hết bởi p.

Đối với p=2, |—2|_2=1/2, bởi vì 2 chia hết —2 một lần.

Vậy nên d(φ(3),φ(5))=Σω(p)·1 (với p≠2)+ω(2)·(1/2).

Bởi vì Σω(p) phân kỳ, nên tổng này cũng phân kỳ.

Vậy nên khoảng cách giữa φ(3) và φ(5) theo phép đo có trọng số là vô hạn?

Tiêu Túc nhíu mày.

Không đúng, định nghĩa như vậy có vấn đề.

Anh nhận ra rằng nếu dùng định nghĩa gốc trực tiếp, khoảng cách giữa bất kì hai số nguyên khác nhau nào cũng đều là vô hạn, bởi vì đối với vô số p, |m—n|_p=1.

Tổng có trọng số đương nhiên phân kỳ.

Cần phải sửa đổi.

Có lẽ không phải tất cả p đều được tính vào?

Có lẽ chỉ những p nào có "đóng góp" trong việc "phân biệt" m và n mới được tính vào?

Tiêu Túc chống tay suy nghĩ hồi lâu, anh cảm thấy định nghĩa 2 vẫn chưa đủ hoàn thiện.

Định nghĩa 2 trong tính toán thực tế, đáng lẽ chỉ nên xem xét những p mà |m—n|_p≠0, tức là p không chia hết m—n.

Đối với những p ấy, |m—n|_p=1.

Vậy nên d(φ(m),φ(n)) tỉ lệ thuận với tổng trọng số của những p ấy.

Khi m—n cố định, tổng này phân kỳ, vậy nên cần chuẩn hóa.

Trừ đi hạng phân kỳ, giữ lại phần hữu hạn.

Tiêu Túc từng sử dụng kĩ thuật tương tự trong bài luận "Phát minh Toán học": đối với sai số của hàm đếm số nguyên tố, sau khi trừ đi hạng chính, phần còn lại có thể biểu diễn bằng một chuỗi hội tụ.

Ở đây cũng có thể dùng phương pháp tương tự.

Định nghĩa 2' (Phép đo có trọng số chuẩn hóa): Định nghĩa khoảng cách chuẩn hóa d̂(φ(m),φ(n))=lim_{X→∞}[Σ_{p≤X,p∤(m—n)}ω(p)/Σ_{p≤X}ω(p)/p]

Sự tinh tế của định nghĩa này nằm ở chỗ, hạng tử thứ nhất của tổng là tất cả các số nguyên tố không chia hết m—n, hạng tử thứ hai trừ đi là một dạng trung bình của tất cả các số nguyên tố.

Khi X→∞, hai hạng tử phân kỳ triệt tiêu lẫn nhau, để lại một giá trị hữu hạn.

Tiêu Túc bắt đầu ước lượng giá trị ấy.

Với hiệu số cố định k = m - n, tỷ lệ số nguyên tố không chia hết k xấp xỉ bằng tích ∏_{p|k}(1 - 1/p). Vì vậy, số hạng đầu tiên xấp xỉ bằng (∏_{p|k}(1 - 1/p)) · Σ_{p≤X}ω(p). Số hạng thứ hai là Σ_{p≤X}ω(p)/p. Sau khi trừ hai số hạng này cho nhau, số hạng chính bị triệt tiêu, chỉ còn lại một chuỗi hội tụ.

Khi k = 2, chỉ có p = 2 chia hết k. Vì vậy, ∏_{p|k}(1 - 1/p) = 1 - 1/2 = 1/2. Do đó:

d̂(φ(m),φ(n)) = lim[(1/2) · Σ_{p≤X}ω(p) - Σ_{p≤X}ω(p)/p] + chỉnh sửa hữu hạn = lim Σ_{p≤X}ω(p) · (1/2 - 1/p) + chỉnh sửa hữu hạn

Khi p rất lớn, (1/2 - 1/p) tiến gần đến 1/2, vì vậy chuỗi này phân kỳ trừ khi ω(p) suy giảm đủ nhanh. ω(p) = (p - 1)/p · log p ~ log p. Sau khi nhân với (1/2 - 1/p), vẫn ~ (1/2) log p, tổng phân kỳ.

Lại bị kẹt rồi.

Tiêu Túc xoa thái dương huyệt đang căng thẳng.

Có lẽ cần thiết kế lại ω(p). Có lẽ nên để ω(p) suy giảm nhanh hơn, chẳng hạn ω(p) = log p / p? Nhưng như vậy trong ước lượng điểm hữu tỉ trước đây sẽ không đủ dùng.

Anh chìm vào suy tư.

Bên ngoài cửa sổ vọng lại tiếng xe hơi xa xôi, rất nhẹ, như từ thế giới khác vọng đến.

Chờ đã.

Tiêu Túc đột nhiên nảy ra một khả năng.

Có lẽ không cần phải có điều kiện d̂(φ(m),φ(n)) = 2.

Có lẽ bản chất của cặp song sinh nguyên tố nằm ở chỗ φ(m) và φ(n) tạo thành một "cấu trúc song sinh" đặc biệt trong X, một dạng ghép đôi theo nghĩa hình học symplectic.

Anh nhớ đến khái niệm "cấu trúc song sinh" mà mình đã định nghĩa trong khuôn khổ Guillemin-Sternberg, vốn dùng để mô tả hai đa tạp con đối ngẫu trên đa tạp symplectic.

Nếu đem khái niệm này vào...

Định nghĩa cấu trúc song sinh: Cho (M,ω) là một đa tạp symplectic, L1 và L2 là hai đa tạp con Lagrange. Nếu tồn tại một vi phôi symplectic φ: M → M sao cho φ(L1) = L2 và φ^2 = id, thì (L1, L2) tạo thành một cấu trúc song sinh.

Giờ, xem X như một đa tạp symplectic. Coi mỗi "điểm" tương ứng với số nguyên tố p như một đa tạp con Lagrange không chiều.

Khi đó, cặp song sinh nguyên tố (p, p+2) tương ứng với một cặp đa tạp con Lagrange, giữa chúng có một vi phôi symplectic đặc biệt liên kết.

Vi phôi symplectic đó là gì?

Tiêu Túc đặt bút xuống, suy nghĩ một hồi.

Trên trục số, từ p đến p+2 là một tịnh tiến.

Trong X, phép tịnh tiến này tương ứng với một biến đổi T, tác động lên mỗi thành phần p-adic bằng T(x) = x + 2. T có phải là một ánh xạ bảo toàn symplectic không? Trong khung symplectic của Gu—Xin, phép tịnh tiến thực sự là một ánh xạ bảo toàn symplectic, bởi vì dạng symplectic là bất biến dưới tịnh tiến. Vì vậy, T là ánh xạ bảo toàn symplectic. Khi đó, T^2 chính là phép tịnh tiến 4, không phải ánh xạ đồng nhất. Do đó, nó không thỏa mãn điều kiện φ^2 = id. Có lẽ không cần yêu cầu φ^2 = id, mà là yêu cầu sự hợp thành của φ với một phép đối hợp nào đó thì bằng id? Xiao Su tiếp tục suy ngẫm.

Giả sử S là một phép đối hợp nào đó, chẳng hạn S(x) = -x. Nếu T∘S là ánh xạ đồng nhất, thì T = S. Điều này không thể xảy ra. Còn nếu S∘T∘S = T^{-1}? Điều này hơi giống như một mối quan hệ đối ngẫu nào đó trong hình học symplectic. Có lẽ đây chính là chìa khóa. Xiao Su bắt đầu diễn đạt lại vấn đề.

Trong khung Gu—Xin, bất kỳ đa tạp symplectic nào cũng có ba bất biến cơ bản: đại lượng bảo toàn quay, chỉ số cấu trúc tầng, và thước đo khả tính. Đối với đa tạp symplectic đặc biệt X này, đại lượng bảo toàn quay của nó có lẽ liên quan đến sự phân bố của các số nguyên tố. Nếu tôi có thể chứng minh rằng, trong X, tập con được định nghĩa bởi điều kiện số nguyên tố sinh đôi có đại lượng bảo toàn quay khác không, thì sự tồn tại của đại lượng bảo toàn quay này sẽ buộc số nguyên tố sinh đôi phải có vô số cặp, giống như đại lượng bảo toàn động lượng quay buộc vật thể quay không thể dừng lại. Ý tưởng này khiến Xiao Su bừng sáng.

Anh tiếp tục suy luận trên giấy.

Bước đầu tiên là xây dựng dạng symplectic trên X. Điều này cần sử dụng phương pháp chuẩn trong khung Gu—Xin, bằng cách gán cho mỗi thành phần p-adic một trọng số, rồi lấy một dạng tổng trực tiếp nào đó. Cụ thể hơn, đặt ω_p là dạng symplectic chuẩn trên thành phần thứ p, trên trường số p-adic, dạng symplectic có thể định nghĩa là ω_p(x,y) = |xy' - x'y|_p, nhưng cần chuẩn hóa thích hợp. Sau đó, định nghĩa dạng symplectic tổng thể là Ω = Σλ_p ω_p, trong đó λ_p là hệ số trọng số. Các hệ số trọng số cần thỏa mãn một số điều kiện, chẳng hạn để Ω được định nghĩa tốt, tức chuỗi hội tụ, và để phép tịnh tiến bảo toàn Ω.

Xiao Su thử đặt λ_p = 1/(p log p). Khi đó, Σλ_p hội tụ? Không, Σ1/(p log p) phân kỳ, vì tích phân ∫dx/(x log x) phân kỳ. Vậy cần suy giảm nhanh hơn. λ_p = 1/(p (log p)^2)? Chuỗi này hội tụ, vì ∫dx/(x (log x)^2) hội tụ. Được, cứ dùng cái này.

Bước thứ hai là định nghĩa cấu trúc song sinh. Đặt L_p là điểm tương ứng với số nguyên tố p trong X, tức là ảnh nhúng có thành phần thứ p bằng p, các thành phần khác bằng 0. Khi đó, đối với cặp số nguyên tố sinh đôi (p, p+2), ta có một cặp điểm (L_p, L_{p+2}). Bây giờ xét phép biến đổi T: x → x+2. Đây là một symplectomorphism vì Ω bất biến dưới tịnh tiến. Xét phép đối hợp S: x → -x. S cũng là một symplectomorphism nếu Ω là hàm chẵn, điều này vẫn cần được kiểm chứng, nhưng tạm thời giả định là đúng. Vậy S∘T là một phép biến đổi ánh xạ x thành -x-2. Lũy thừa hai của phép biến đổi này là gì? (S∘T)^2 = S∘T∘S∘T = S∘(T∘S∘T). T∘S∘T ánh xạ x thành T∘S(T(x)) = T∘S(x+2) = T(-x-2) = -x. Vì vậy T∘S∘T = -id. Do đó (S∘T)^2 = S∘(-id) = -S. Đây không phải là ánh xạ đồng nhất. Có chút lộn xộn. Tiêu Túc nhận ra có lẽ cần một phân tích hệ thống hơn.