Chương 140: Hóa ra con đường lên đỉnh núi là như thế này

Anh đổi hướng suy nghĩ.

Trong hình học xê-nô, mối quan hệ hình học giữa các đa tạp con Lagrangian có thể được mô tả thông qua lý thuyết giao điểm của chúng. Với hai đa tạp con Lagrangian L₁ và L₂, số giao điểm của chúng là một bất biến quan trọng. Nếu L₁ và L₂ là ảnh của một vi phôi xê-nô, thì số giao điểm ấy phản ánh tính chất của vi phôi ấy.

Trong X, Lₚ và Lₚ₊₂ là hai đa tạp con không chiều, tức là những điểm. Chúng không giao nhau, trừ phi p = p + 2, điều ấy không thể xảy ra. Thế nên số giao điểm bằng 0. Chẳng thu được thông tin gì.

Có lẽ cần xét những đa tạp con Lagrangian có chiều cao hơn.

Tiêu Túc nghĩ tới việc dựng nên một đa tạp con Lagrangian một chiều nối tất cả các cặp số nguyên tố sinh đôi. Chẳng hạn, xét tập hợp tất cả những số thực x sao cho x và x + 2 đều là số nguyên tố—đó là những điểm rời rạc, không thể nối thành đường cong liên tục. Vẫn không được.

Tiêu Túc đứng dậy lần nữa, bước quanh phòng.

Có lẽ vấn đề không nằm ở từng cặp số nguyên tố riêng lẻ, mà nằm ở mô hình phân bố của chúng. Giống như trong vật lý thống kê, ta không quan tâm tới vị trí của từng hạt, mà quan tâm tới hàm tương quan của chúng.

Anh nhớ tới khái niệm “hàm tương quan” mà Terence Tao từng nhắc đến trong báo cáo. Với phân bố số nguyên tố, ta có thể định nghĩa hàm tương quan hai điểm R(k) = lim(1/N)Σχₚ(n)χₚ(n + k), trong đó χₚ là hàm đặc trưng của số nguyên tố.

Giả thuyết Hardy—Littlewood đưa ra dạng tiệm cận của R(2): R(2) ~ C·N/(log N)², với C ≈ 1,32 là hằng số số nguyên tố sinh đôi.

Hằng số C ấy từ đâu ra? Nó bằng ∏ₚ₌₂(1 - 1/(p - 1)²). Tích ấy hội tụ về 1,32...

Tiêu Túc nhìn chằm chằm vào tích ấy, đột nhiên nhận ra điều gì đó.

Hình thức ấy, giống hệt hạng mục chuẩn hóa trong khung trọng số của Gu—Xin!

Bút của anh vội vã chuyển động:

C = ∏ₚ₌₂(1 - 1/(p - 1)²) = exp[Σₚ₌₂ log(1 - 1/(p - 1)²)]

Mà log(1 - 1/(p - 1)²) ~ -1/p² khi p lớn, nên chuỗi ấy hội tụ.

Nếu đem trọng số ω(p) trong độ đo trọng số ấy bằng log(1 - 1/(p - 1)²), thì khoảng cách chuẩn hóa d̂ sẽ liên hệ với C.

Tiêu Túc bắt đầu định nghĩa lại.

Đặt ω(p) = -log(1 - 1/(p - 1)²) với p > 2, còn p = 2 cần xử lý riêng.

Trọng số ấy dương, bởi 1 - 1/(p - 1)² < 1, nên log mang dấu âm, đổi dấu thành dương.

Khi p lớn, ω(p) ~ 1/p², nên Σω(p) hội tụ.

Rất tuyệt vời! Khi định nghĩa thang đo trọng số theo cách này, ta không cần chuẩn hóa nữa vì chuỗi số vốn đã hội tụ. Tiếp theo, ta định nghĩa (thước đo tương quan giữa Cố và Tân): Với hai số nguyên m và n, định nghĩa khoảng cách tương quan giữa chúng là ρ(m,n)=Σ_{p∤(m—n)}ω(p)+δ_{2|(m—n)}·ω(2), trong đó ω(p)=—log(11/(p—1)^2) đối với p>2, còn ω(2) được định nghĩa bằng một công thức riêng biệt.

Đối với cặp số nguyên tố sinh đôi (m,n)=(p,p+2), ta có m—n=2, nên p=2 chia hết m—n. Do đó:

ρ(p,p+2)=ω(2)+Σ_{p>2,p∤2}ω(p)=ω(2)+Σ_{p>2}ω(p)

Vì với p>2, 2 không chia hết cho p, nên tất cả p>2 đều được tính đến.

Mà Σ_{p>2}ω(p)=Σ_{p>2}log(11/(p—1)^2)=—logC

Nên ρ(p,p+2)=ω(2)+logC

Chỉ cần định nghĩa ω(2) sao cho ρ(p,p+2) bằng một hằng số nào đó, chẳng hạn bằng 1, thì ta sẽ có ω(2)=1+logC.

Hoàn hảo!

Tư duy của Tiểu Tú càng lúc càng nhanh nhạy, khó kìm được nụ cười trên khóe môi. Anh biết mình đang tiến gần hơn đến thành công.

Vẻ đẹp của định nghĩa này nằm ở chỗ: đối với cặp số nguyên tố sinh đôi, khoảng cách tương quan ρ là một hằng số; còn đối với những cặp không phải sinh đôi, ρ sẽ khác đi. Hơn nữa, cách xây dựng ρ này trực tiếp bắt nguồn từ hằng số C của Hardy—Littlewood, hằng số đã được kiểm chứng bằng số liệu vô số lần.

Do đó, cặp số nguyên tố sinh đôi chính là những cặp số nguyên tố (p,p+2) khiến cho ρ(p,p+2) nhận một giá trị xác định.

Bây giờ, vấn đề được chuyển hóa thành: Trong không gian đặc trưng Cố—Tân X, xét tập hợp P gồm tất cả các điểm nguyên tố. Trên tập hợp này tồn tại một “cấu trúc tương quan” được cảm sinh bởi ρ. Nếu có thể chứng minh rằng cấu trúc tương quan này mang tính “cứng nhắc” nào đó, nghĩa là nếu tồn tại hữu hạn cặp điểm khiến cho ρ nhận giá trị xác định thì nhất định phải tồn tại vô hạn cặp như vậy, thì giả thuyết số nguyên tố sinh đôi sẽ được chứng minh.

Tính cứng nhắc này từ đâu mà có?

Tiểu Tú nghĩ đến công thức thứ hai trong khung Cố—Tân, đó là sự phân tầng rõ ràng. Tất cả các đa tạp Symplectic được sắp xếp trên một nấc thang minh bạch theo “độ phức tạp xoay chuyển” nội tại của chúng.

Trong X, tập hợp điểm nguyên tố P, “độ phức tạp xoay chuyển” của nó phải được quyết định bởi sự phân bố của ρ. Nếu chỉ tồn tại hữu hạn cặp số nguyên tố sinh đôi, thì cấu trúc tương quan của P sẽ “đứt gãy” ở một quy mô nào đó, giống như một cây cầu thiếu mất viên đá then chốt. Và sự đứt gãy này sẽ khiến cho bất biến xoay chuyển của P, tức là đại lượng bảo toàn trong công thức thứ nhất, thay đổi.

Đại lượng bảo toàn phải được bảo toàn.

Do đó, sự đứt gãy không thể xảy ra.

Vì vậy, cặp số nguyên tố sinh đôi phải tồn tại vô hạn.

Tiểu Tú cảm thấy con đường tiềm ẩn trong tâm trí mình cuối cùng cũng trở nên rõ ràng.

Anh bắt đầu hệ thống ghi chép khung chứng minh:

Bước đầu tiên là xây dựng không gian đặc trưng Cố—Tân X cùng cấu trúc Symplectic trên đó.

Dòng này cần vận dụng tích phân hạn chế trên trường số p-adic, định nghĩa thích hợp về metric Gu—Xin, cùng với cấu trúc dạng symplectic. Bước này mang tính kỹ thuật, nhưng khung sườn lý thuyết đã đủ chín muồi.

Bước thứ hai là định nghĩa khoảng cách tương quan ρ, và chứng minh mối quan hệ của nó với hằng số Hardy—Littlewood C. Điểm mấu chốt ở đây là lựa chọn trọng số ω(p) sao cho Σω(p) = —logC. Điều này đảm bảo rằng mọi cặp số nguyên tố sinh đôi đều có cùng giá trị dưới ρ.

Bước thứ ba xem tập hợp các điểm nguyên tố P như một đa tạp con Lagrange zero chiều trong X, tức là một siêu mặt con zero chiều. Định nghĩa cấu trúc tương quan sinh đôi trên P chính là đồ thị gồm tất cả các cặp điểm (p, p+2) thỏa mãn ρ(p, p+2) = hằng số.

Bước thứ tư giới thiệu đại lượng bảo toàn xoay trong khuôn khổ Gu—Xin. Đại lượng này là một bất biến tôpô trên P, có thể tính thông qua một hàm phân vùng nhất định. Điều quan trọng là phải chứng minh: nếu chỉ có hữu hạn cặp số nguyên tố sinh đôi, thì đại lượng bảo toàn này phải bằng không. Nhưng nếu từ tính chất toàn cục của sự phân bố số nguyên tố mà suy ra đại lượng bảo toàn luôn khác không, thì phải tồn tại vô số cặp số nguyên tố sinh đôi.

Bước thứ năm là tính toán đại lượng bảo toàn. Bước này cần sử dụng định lý số nguyên tố và các kết quả chuẩn trong giải tích số. Qua tính toán, có thể thu được đại lượng bảo toàn tỉ lệ với một biến thể nào đó của ∏_{p}(11/(p—1)^2), và tích này chính là hằng số sinh đôi C! Do C > 0 (khoảng 1,32), nên đại lượng bảo toàn > 0.

Cuối cùng, từ đại lượng bảo toàn > 0 kết hợp với kết luận ở bước thứ tư, có thể suy ra tồn tại vô số cặp số nguyên tố sinh đôi.

Xiao Túc đặt bút xuống. Ngoài cửa sổ, ánh sáng bình minh đã bắt đầu ló dạng. Anh nhìn đồng hồ: năm giờ hai mươi phút sáng. Không ngờ, anh đã thức trắng đêm.

Nhưng lúc này, Xiao Túc chẳng hề cảm thấy mệt mỏi chút nào. Nhìn chằm chằm vào sáu trang giấy đầy những suy luận dày đặc, trong lòng anh không dấy lên niềm hứng khởi hay cuồng nhiệt, mà chỉ là một cảm giác lạ lùng, bình thản đến kỳ lạ, như thể mọi thứ vốn dĩ phải như vậy, kèm theo niềm hạnh phúc thuần khiết sau khi giải quyết xong một vấn đề đẹp đẽ.

Hóa ra số nguyên tố có thể được hiểu theo cách này… Hóa ra con đường lên tới đỉnh núi lại đơn giản đến thế…

Trong khoảnh khắc, anh lại cảm nhận được lần đầu tiên khi tiếp xúc với toán học: thế giới vốn tưởng chừng hỗn loạn, nay bỗng hiện ra trước mắt với vẻ đẹp giản đơn, tinh tế đến không ngờ.

Phía chân trời phía đông bắt đầu nhuốm sắc cá hồi. Vài ngôi sao cuối cùng vẫn còn lấp lánh trên bầu trời.

Khuôn viên Princeton chìm trong tĩnh lặng trước bình minh, những tòa nhà gạch đỏ, những ngọn tháp Gothic nhọn hoắt, những căn phòng văn phòng chứa đựng vô vàn bí mật toán học, tất cả dần hiện rõ dưới ánh sáng ban mai.

Những gì Trương Dịch Đường chứng minh là tồn tại vô số cặp số nguyên tố cách nhau không quá bảy mươi triệu. Có người từng nói, khoảng cách từ bảy mươi triệu xuống hai, so với khoảng cách từ vô hạn xuống bảy mươi triệu, quả là nhỏ bé không đáng kể.

Giờ đây, bước cuối cùng của con đường "không đáng kể" ấy cũng đã được hoàn tất.

Sáo Tú nhấc điện thoại lên, chụp lại sáu trang ghi chép kia. Rồi cậu gửi cho Cổ Thanh Đàn một tin nhắn: “Chú Cổ, cháu nghĩ mình đã tìm ra đường đi rồi.”

Sau khi gửi xong, Sáo Tú nằm xuống giường, nhắm mắt lại. Cuối cùng, cơn buồn ngủ cũng tràn đến.