Chương 137: Cần công cụ tinh vi hơn

Đào Triết Hiên khẽ mỉm cười ôn hòa:

“Nghiên cứu toán học chính là như vậy. Đôi khi đột phá mấu chốt nhất không đến từ việc đào sâu trong lĩnh vực của mình, mà lại đến từ sự liên tưởng so sánh với một lĩnh vực tưởng chừng như xa vời. Năm đó khi tôi chứng minh định lý Green – Đào, đã mượn rất nhiều công cụ từ lý thuyết béc-gô-đích, tổ hợp học và phân tích điều hòa.”

Scholze bổ sung:

“Các nhánh của toán học về bản chất đều đang nghiên cứu về cấu trúc. Lý thuyết số nghiên cứu cấu trúc của số nguyên, hình học nghiên cứu cấu trúc của không gian, giải tích nghiên cứu cấu trúc của hàm số. Khi cậu gặp phải nút thắt ở một lĩnh vực nào đó, hãy thử đổi góc độ nhìn vào cấu trúc, thường sẽ có bất ngờ.”

Họ lại trò chuyện thêm nửa tiếng nữa, chủ đề nhảy từ lý thuyết số sang giải tích, từ hình học sang tổ hợp.

Đào Triết Hiên và Scholze đều là kiểu người tư duy có thể dễ dàng nhảy vọt giữa các lĩnh vực toán học khác nhau, và Tiêu Túc nhận ra bản thân mình cũng rất tận hưởng sự va chạm tư duy liên lĩnh vực này.

Bốn giờ chiều, Đào Triết Hiên phải tham gia một cuộc họp khác, ba người kết thúc buổi thảo luận.

“Tiêu,” trước khi đi, Đào Triết Hiên nghiêm túc nói, “thiên phú của cậu rất đặc biệt. Cậu không chỉ có năng lực kỹ thuật sâu sắc, mà còn có trực giác toán học hiếm thấy, có thể nhìn ra mối liên hệ tầng sâu giữa các lĩnh vực khác nhau. Hãy giữ vững tầm nhìn rộng mở này, nó sẽ đưa cậu đi rất xa.”

Scholze cũng nói:

“Báo cáo ngày thứ Tư, rất mong chờ biểu hiện của cậu. Vấn đề số nguyên tố sinh đôi đã làm khó giới toán học hơn một thế kỷ qua, có lẽ cậu chính là người tìm ra chiếc chìa khóa đó.”

Tiêu Túc gật đầu.

Khi trở về phòng khách sạn thì đã hơn năm giờ chiều.

Trời mùa đông tối nhanh, bên ngoài cửa sổ đèn đường đã thắp sáng.

Cố Thanh Trần buổi tối có hẹn ăn cơm, hỏi Tiêu Túc có muốn đi cùng không, Tiêu Túc khéo léo từ chối.

Cậu cần thời gian ở một mình để tiêu hóa những thu hoạch ngày hôm nay.

Sau khi ăn đơn giản chiếc bánh mì kẹp do dịch vụ phòng mang đến, Tiêu Túc ngồi vào bàn làm việc, mở sổ tay ra.

Cuộc đối thoại chiều nay không ngừng tái hiện trong đầu cậu.

Cảm biến nén……

Tính thưa thớt……

Tính thưa thớt có cấu trúc……

Biểu diễn chiều thấp……

Hàm liên quan……

Góc nhìn hình học……

Những khái niệm này như những mảnh vỡ trôi nổi, chờ đợi được lắp ráp thành một bức tranh hoàn chỉnh.

Cậu bắt đầu viết viết vẽ vẽ trên giấy.

Trước tiên thử hình thức hóa vấn đề:

Đặt P là tập hợp của tất cả các số nguyên tố.

Định nghĩa hàm đặc trưng \chi_P(n)=1 nếu n là số nguyên tố, ngược lại bằng 0.

Vấn đề số nguyên tố sinh đôi: tìm vô số số n sao cho \chi_P(n)=\chi_P(n+2)=1.

Phương pháp truyền thống là trực tiếp nghiên cứu hàm số \chi_P này.

Nhưng hàm số này quá phức tạp. Định lý số nguyên tố cho ta biết mật độ của nó tương tự như 1/lnn, song hành vi cục bộ lại cực kỳ bất quy tắc. Và giờ đây, anh ta nảy ra một ý tưởng mới. Thay vì nghiên cứu trực tiếp χ_P, anh ta nghiên cứu một dạng "biến đổi" hay "biểu diễn" nào đó của nó. Trong biểu diễn mới này, vấn đề trở nên đơn giản hơn. Tiêu đề nghĩ đến phép biến đổi Fourier. Trong xử lý tín hiệu, những tín hiệu phức tạp trong miền thời gian có thể có biểu diễn đơn giản trong miền tần số. Đối với hàm đặc trưng của số nguyên tố, liệu có tồn tại một "miền tần số" tương tự? Anh ta nhớ lại rằng chứng minh Định lý số nguyên tố sử dụng giải tích phức, đặc biệt là hàm Riemann ζ. Hàm ζ có thể xem như một dạng "hàm sinh" hay "biến đổi" của thông tin số nguyên tố. Nhưng hàm ζ là hàm biến phức, xử lý cấu trúc nhân tính, trong khi số nguyên tố sinh đôi liên quan đến cấu trúc cộng tính (khoảng cách bằng 2). Có lẽ cần một biến đổi mới, vừa mã hóa thông tin nhân tính vừa cộng tính?

Tiêu đề thử định nghĩa:

Đặt f(s,t)=Σ_{n}χ_P(n)·n^{—s}·e^{2πint}

Ở đây s là biến phức, kế thừa từ truyền thống hàm ζ. t là biến thực, kế thừa từ phân tích Fourier. Hàm sinh kép này thông qua n^{—s} và e^{2πint}, vừa nắm bắt cấu trúc nhân tính của số nguyên tố vừa vị trí cộng tính của chúng.

Với t cố định, nó tương tự như đặc trưng Dirichlet; với s cố định, nó tương tự như tổng lượng giác. Điều kiện số nguyên tố sinh đôi χ_P(n)=χ_P(n+2)=1 có thể thử biểu diễn bằng hàm sinh kép này chăng?

Tiêu đề tính toán một hồi, phát hiện biểu thức trở nên rất phức tạp. Song điều thú vị là, khi xét hàm tương quan:

R(k)=lim_{N→∞}(1/N)Σ_{n≤N}χ_P(n)χ_P(n+k)

Nếu giới hạn này tồn tại, nó có thể được biểu diễn thông qua f(s,t) theo một nghĩa nào đó. Giả thuyết Hardy—Littlewood thứ hai về bản chất là một ước lượng tiệm cận của R(k).

Tiêu đề chuyển hướng sang ý tưởng khác. Quay trở lại ý tưởng "cấu trúc tầm thấp" mà Terence Tao từng đề cập. Giả sử tồn tại một không gian toán học trừu tượng X nào đó, và một ánh xạ φ: số nguyên→X, sao cho:

1. φ bảo toàn một cấu trúc nào đó;

2. Ảnh φ(P) của tập hợp số nguyên tố P trong X tạo thành một tập con tầm thấp;

3. Điều kiện số nguyên tố sinh đôi tương ứng với một điều kiện hình học đơn giản trên φ(P).

Liệu tồn tại một φ như vậy chăng?

Tiểu Hào nghĩ đến số p-adic. Mỗi số nguyên đều có thể nhúng vào trường số p-adic ℚ_p. Các số nguyên tố trong ℚ_p có tính chất đặc biệt, chúng là những phần tử bất khả quy trong vành số nguyên p-adic ℤ_p. Nhưng giải tích p-adic chỉ xử lý từng số nguyên tố p riêng lẻ, còn bài toán song sinh nguyên tố lại liên quan đến tất cả các số nguyên tố. Có lẽ cần một loại "không gian tích của mọi số nguyên tố" nào đó? Giống như khái niệm vành adèle.

Tiểu Hào viết trên giấy:

Xét tích của tất cả các trường số p-adic ∏_pℚ_p, nhưng đây không phải là không gian tốt, quá lớn. Nếu thu gọn lại, xét một loại tích giới hạn của tất cả các trường số p-adic, tức là vành adèle ℚ. Vành số nguyên ℤ nhúng vào vành adèle bằng ánh xạ n↦(n,n,n,...), mỗi thành phần là ảnh của n trong hoàn toàn hóa tương ứng. Những ảnh của số nguyên tố dưới ánh xạ này có gì đặc biệt?

Tiểu Hào suy nghĩ một lúc, nhận ra điều này lại quay về lý thuyết trường lớp, mô tả các tính chất số học của trường số bằng ngôn ngữ adèle. Nó thật sâu sắc, nhưng cũng thật phức tạp. Anh dựa lưng vào ghế, nhắm mắt lại.

Vẫn chưa đủ.

Những ý tưởng ấy đều hợp lý, nhưng vẫn chưa chạm đến cái cốt lõi nhất, cái góc nhìn then chốt có thể phá vỡ vấn đề. Bên ngoài cửa sổ đã tối hẳn. Đêm Princeton thật yên tĩnh, chỉ thỉnh thoảng vọng lại tiếng xe cộ xa xa.

Tiểu Hào đứng dậy, đi đi lại lại trong phòng. Khi đứng yên, tư tưởng dễ sa vào vòng lặp, nhưng khi đi lại, lại dễ nảy ra đột phá. Anh nhớ đến câu nói của Terence Tao chiều nay: "Các nhánh toán học về bản chất đều đang nghiên cứu cấu trúc." Cấu trúc… cấu trúc… Cấu trúc phân bố của số nguyên tố là gì?

Một là cấu trúc phép nhân, các số nguyên tố sinh ra tất cả các số nguyên thông qua phép nhân. Hai là cấu trúc phép cộng, sự phân bố của số nguyên tố trên trục số. Bài toán song sinh nguyên tố về bản chất là yêu cầu sự tương thích nào đó giữa cấu trúc phép nhân và phép cộng, hai số vừa là "nguyên tử" theo nghĩa phép nhân, vừa cách nhau một khoảng cố định theo nghĩa phép cộng.

Nó giống như yêu cầu tìm trong những "điểm quan trọng" được định nghĩa bởi phép nhân, những cặp điểm nằm rất gần nhau theo thước đo phép cộng.

Tiểu Hào đột nhiên dừng bước.

À…

Nếu coi vành số nguyên như một đối tượng hình học, cấu trúc phép nhân định nghĩa nên “hình học đại số” của nó, tức phổ của các i-đê-an nguyên tố. Cấu trúc phép cộng định nghĩa nên “hình học metric” của nó, tức khoảng cách trên trục số.

Chuyển đổi theo cách ấy, thì bài toán số nguyên tố sinh đôi chính là câu hỏi: trong các điểm quan trọng về đại số của đối tượng hình học này, tức các i-đê-an nguyên tố, liệu có tồn tại vô số cặp điểm mà khoảng cách theo nghĩa metric bằng hai?

Điều này giống như việc nghiên cứu sự tương tác giữa hai cấu trúc hình học khác nhau của cùng một không gian.

Tiêu Túc Hưng hưng phấn, ngồi ngay lại bàn.

Anh bắt đầu vẽ trên giấy.

Một đường thẳng nằm ngang tượng trưng cho trục số nguyên, trên đó đánh dấu các điểm nguyên tố.

Rồi bên cạnh, anh vẽ một đồ hình trừu tượng: mỗi số nguyên tố p tương ứng với một điểm, nếu p và q là một cặp nguyên tố sinh đôi thì nối chúng bằng một đường.

Cấu trúc của đồ hình ấy sẽ như thế nào?

Nếu số nguyên tố sinh đôi chỉ hữu hạn cặp, thì đồ hình chỉ có hữu hạn cạnh.

Nếu số nguyên tố sinh đôi có vô số cặp, thì đồ hình có vô hạn cạnh.

Nhưng bản thân lý thuyết đồ thị có thể chưa đủ.

Cần những công cụ tinh tế hơn.