Chương 136: Tôi cần suy nghĩ

Sáo Túc và Tao Triết Uyên cùng nhau bước ra góc cà phê bên ngoài hội trường báo cáo. Trên đường, họ gặp phải Sở Nhĩ. “Terence, Sáo,” Sở Nhĩ chào hỏi, “mọi người đang bàn luận gì thế?” “Đang định nói về sự giao thoa giữa nén nhận thức và lý thuyết số,” Tao Triết Uyên nói, “cùng tham gia chứ?” Sở Nhĩ mắt sáng lên: “Tất nhiên!” Ba người tìm một chiếc bàn tròn sát cửa sổ ngồi xuống. Bên ngoài cửa sổ là những thảm cỏ và tòa nhà gạch đỏ của Princeton. Tao Triết Uyên gọi một tách cà phê Mỹ, Sở Nhĩ gọi một ly latte, còn Sáo Túc không quen uống, chỉ xin một cốc nước. “Vậy,” Tao Triết Uyên mở lời trước, nhìn về phía Sáo Túc, “cậu nghĩ tư tưởng nén nhận thức có thể áp dụng vào lý thuyết số như thế nào? Cụ thể ra sao?” Sáo Túc sắp xếp lại ngôn từ: “Sự phân bố của số nguyên tố vốn đã thưa thớt, cặp song sinh nguyên tố lại càng thưa thớt hơn. Những công cụ sàng lọc truyền thống giống như việc mò kim đáy bể, kiểm tra từng vị trí một. Nhưng nén nhận thức cho chúng ta biết: nếu cậu biết tín hiệu có cấu trúc đặc biệt, thì không cần kiểm tra tất cả vị trí, chỉ cần vài ‘phép đo’ được thiết kế tinh tế là có thể tái dựng toàn cục.” Sở Nhĩ thoáng suy nghĩ. “Cách ví von này thật thú vị. Nhưng ‘phép đo’ trong toán học chỉ gì? Trong nén nhận thức, phép đo là phép chiếu tuyến tính. Trong lý thuyết số thì…” “Có thể là sự xây dựng một hàm trọng số sàng lọc nào đó,” Sáo Túc nói. “Trước đây tôi từng thử xây dựng hàm trọng số để nắm bắt mối tương quan giữa các cặp số nguyên tố. Nhưng giờ tôi nghĩ có lẽ có thể thiết kế hai loại ‘phép đo’ khác nhau.” “Một loại nắm bắt tính thưa thớt toàn cục, tương tự như ước lượng mật độ số nguyên tố mà sàng lọc truyền thống mang lại.” “Loại kia nắm bắt tính tương quan cục bộ, được thiết kế chuyên biệt để phát hiện cấu trúc ‘khoảng cách bằng 2’ này.” Tao Triết Uyên hơi nghiêng người về phía trước. “Cứ tiếp tục đi.” “Giả sử ta đánh dấu tất cả số nguyên n thành một vector x có độ dài N, trong đó x[n]=1 biểu thị n là số nguyên tố, còn không thì bằng 0,” Sáo Túc vẽ nét trên mặt bàn. “Khi đó bài toán song sinh nguyên tố chính là tìm những vị trí n thỏa mãn x[n]=1 và x[n+2]=1.” “Có thể xem đó là việc tìm kiếm một tín hiệu thưa thớt,” Sở Nhĩ nối lời. “Nhưng tín hiệu này quá thưa thớt, thưa đến nỗi ngay cả tối thiểu L1 cũng có thể không đủ mạnh.” “Vậy cần thêm cấu trúc,” Tao Triết Uyên nói, “trong những tiến bộ gần đây của nén nhận thức, chúng ta bắt đầu nghiên cứu ‘tính thưa thớt có cấu trúc’, tức là những thành phần khác không của tín hiệu không phân bố ngẫu nhiên hoàn toàn mà tụ tập theo một mô hình nào đó. Chẳng hạn trong xử lý ảnh, các hệ số wavelet khác không tương ứng với cạnh thường tạo thành những đường cong liên tục.” Đôi mắt Sáo Túc sáng lên: “Sự phân bố số nguyên tố có thể cũng ẩn chứa một mô hình tính thưa thớt có cấu trúc! Không hoàn toàn ngẫu nhiên, nhưng cũng không đơn giản là tuần hoàn. Chẳng hạn định lý số nguyên tố cho mật độ tiệm cận 1/lnN, đó là thống kê toàn cục. Nhưng ở cấp độ cục bộ, ta quan sát thấy những cấu trúc như chùm số nguyên tố, cấp số cộng nguyên tố.” “Vậy vấn đề trở thành: làm thế nào để đặc tả toán học mô hình cấu trúc ấy?” Sở Nhĩ suy nghĩ, “Tác động nhóm? Tính đối xứng? Hay một dạng ràng buộc tổ hợp phức tạp hơn?” Tao Triết Uyên uống một ngụm cà phê, chậm rãi nói: “Tôi và Ben Green đã chứng minh rằng trong số nguyên tố tồn tại cấp số cộng tùy ý dài, công cụ chủ chốt là định lý Szemerédi, một kết quả tổ hợp về sự tồn tại cấp số cộng dài trong tập con số nguyên, cùng với một kỹ thuật ‘ngụy trang’ số nguyên tố thành tập hợp dày đặc.” “Tính ngẫu nhiên giả,” Sáo Túc nói, “các anh đã chứng minh rằng số nguyên tố ở ở nào đó ý nghĩa biểu hiện đến giống tùy cơ tập, ít nhất là trong tính chất chứa cấp số cộng.”

“Đúng vậy,” Tào Triết Nhạn gật đầu, “nhưng vấn đề song sinh nguyên tố còn tinh tế hơn thế. Nó không chỉ yêu cầu tập hợp số nguyên tố có một cấu trúc nhất định, mà cấu trúc đó còn phải có một mô hình khoảng cách đặc biệt.” Shulz đột nhiên nói: “Có lẽ có thể suy nghĩ từ góc độ ‘hàm tương quan’. Trong vật lý thống kê, hàm tương quan mô tả mối quan hệ tương hỗ giữa trạng thái của các hạt ở những vị trí khác nhau. Đối với số nguyên tố, chúng ta có thể định nghĩa một loại ‘hàm tương quan số nguyên tố - số nguyên tố’ nào đó: cho khoảng cách k, xác suất để hai số cách nhau k đều là số nguyên tố là bao nhiêu?”

“Định lý số nguyên tố cho biết xác suất để một số n là số nguyên tố xấp xỉ 1/lnn,” Tiểu Túc nhanh chóng tính nhẩm trong đầu, “nếu các số nguyên tố hoàn toàn độc lập ngẫu nhiên, thì xác suất để hai số cách nhau k đều là số nguyên tố sẽ là (1/lnn)². Nhưng trên thực tế, do cấu trúc phép nhân của các số nguyên, xác suất này sẽ có sai lệch.”

“Giả thuyết Hardy—Littlewood thứ hai,” Tào Triết Nhạn hào hứng nói, “họ phỏng đoán rằng đối với một số chẵn k cố định, tồn tại vô số cặp số nguyên tố (p, p+k), và đưa ra một công thức tiệm cận: số lượng cặp số nguyên tố như vậy xấp xỉ C·N/(lnN)², trong đó C là một hằng số phụ thuộc vào k.”

Tiểu Túc biết đến giả thuyết này.

Đối với k=2 (song sinh nguyên tố), C≈1.32.

Điều này có nghĩa là số lượng song sinh nguyên tố nhiều hơn 32% so với dự đoán của giả thuyết hoàn toàn ngẫu nhiên.

“Hằng số C này phản ánh sự tương quan dương giữa các số nguyên tố,” Shulz nói, “giống như một loại ‘hấp dẫn’ nào đó trong hệ thống hạt.”

Tào Triết Nhạn nhìn Tiểu Túc.

“Phương pháp của cậu đang cố gắng mô tả loại tương quan này bằng lý thuyết nhóm, tôi nghĩ có thể đổi góc nhìn khác: coi loại tương quan này như một loại ‘cấu trúc tầm thấp’ nào đó.”

“Trong lý thuyết nén cảm nhận, nếu một tín hiệu có thể được biểu diễn bằng sự kết hợp của vài vector cơ sở trong một cơ sở nào đó, chúng ta nói nó có cấu trúc tầm thấp. Vậy, sự phân bố của số nguyên tố liệu có một biểu diễn tầm thấp tương tự?”

Tiểu Túc chìm vào suy tư.

Cấu trúc tầm thấp… Điều này khiến anh nhớ đến lý thuyết của Mochizuki vào buổi sáng.

Mochizuki cố gắng mô tả các tính chất số học của trường số bằng những công cụ toán học có cấu trúc cao như hình học xa Abel.

Mặc dù cách xây dựng cụ thể của ông ấy có vấn đề, nhưng có lẽ phương hướng lớn của ông ấy là đúng: cấu trúc sâu của trường số có thể ‘hình học’ hơn, ‘tầm thấp’ hơn chúng ta tưởng.

“Để tôi đưa ra một phỏng đoán táo bạo,” Tào Triết Nhạn tiếp tục, giọng điệu như đang bàn luận về một câu đố thú vị, “có lẽ tồn tại một không gian toán học thích hợp nào đó, không nhất thiết là không gian Euclid, có thể là một không gian hàm số, thậm chí là một phạm trù trừu tượng, trong không gian đó, sự phân bố của số nguyên tố tương ứng với một đa tạp con tầm thấp. Và điều kiện song sinh nguyên tố tương ứng với một tập hợp điểm đặc biệt trên đa tạp con đó.”

Shulz cười: “Terence, ý tưởng của cậu thật quá hình học. Nhưng tôi thích nó. Phương khung hình học symplectic trước đây của Tiểu Túc không phải cũng đang làm điều tương tự sao? Mã hóa các đối tượng hình học đại số thành ‘vector mã nguồn’.”

Tiểu Túc cảm thấy có gì đó trong đầu đang được kết nối.

Hình học symplectic… vector mã nguồn… cấu trúc tầm thấp…

Công trình trước đây của anh về khung hình học symplectic về bản chất là việc cung cấp cho các đối tượng hình học phức tạp một “mã vân tay”.

Nếu coi sự phân bố của số nguyên tố cũng là một loại đối tượng toán học, liệu có thể cung cấp cho nó một loại mã hóa tương tự?

Mã hóa này có thể đơn giản hơn nhiều so với dữ liệu gốc, nhưng vẫn nắm bắt được những thông tin quan trọng?

“Tôi cần suy nghĩ thêm,” Tiểu Túc nói, “ý tưởng này… có lẽ thực sự khả thi.”