Chương 135: Sai là sai, đúng là đúng

Hậu hàng những nghiên cứu sinh trẻ đã xôn xao bàn tán.

"Trời ơi, vừa rồi đã xảy ra chuyện gì thế?"

"Tiểu Túc... cậu ấy chỉ ra sai lầm cơ bản trong lý thuyết của giáo sư Mochizuki à?"

"Mà chỉ bằng cách đơn giản thế thôi sao?"

"Đơn giản? Cậu thử xem có thể tìm ra mâu thuẫn cốt lõi trong lý thuyết phức tạp ấy không!"

"Đó chính là sự khác biệt giữa thiên tài và người thường..."

Cố Thanh Sâm ngồi trên ghế, nhìn lên bục giảng nơi Tiểu Túc đang đứng, trong lòng dâng lên một cảm xúc khó tả.

Tự hào?

Cảm khái?

Hay còn là thứ gì sâu sắc hơn thế?

Anh biết đứa trẻ này không bình thường, nhưng không ngờ nó lại phi thường đến thế.

Lần nữa, nó phá vỡ sự hiểu biết của mọi người về thiên tài.

Tiểu Túc đặt viên phấn xuống, gật đầu với giáo sư Mochizuki, rồi quay trở về chỗ ngồi.

Cậu không tỏ ra mình là kẻ chiến thắng, cũng chẳng hề vênh vang, chỉ đơn thuần hoàn thành nhiệm vụ của mình—chỉ ra sai lầm trong toán học.

Và thái độ bình thản trước vinh quang hay nhục nhã ấy càng khiến người ta chú ý, càng khiến người ta... kính phục.

Giáo sư Mochizuki đứng trên bục giảng, im lặng rất lâu.

Rồi ông hướng về phía micro, nói bằng giọng rõ ràng:

"Những vấn đề mà Tiểu Túc chỉ ra... là đúng. Tôi thừa nhận trong lý thuyết của mình tồn tại mâu thuẫn cơ bản này. Vì vậy, tôi quyết định rút lại tuyên bố chứng minh giả thuyết abc."

Ông ngừng lại, cúi chào khán giả dưới hội trường.

"Trong tám năm qua, vì sự ngoan cố và thiếu giao tiếp của tôi, đã gây ra nhiều rắc rối và tranh cãi cho giới toán học. Tôi thành thật xin lỗi."

Tiếng vỗ tay vang lên trong hội trường.

Không phải để chúc mừng thất bại của ai, mà là để chào đón sự xuất hiện của sự thật.

Nghiên cứu khoa học vốn dĩ vậy, vừa tàn nhẫn vừa đẹp đẽ.

Sai lầm sẽ bị phơi bày không thương tiếc, nhưng mỗi lần phơi bày ấy, lại là một bước tiến gần hơn đến chân lý.

Shulz bước lên, vỗ vai Mochizuki.

Deligne cũng gật đầu.

Faltings cuối cùng đứng dậy khỏi ghế, tiến đến trước mặt Tiểu Túc.

"Cậu," Faltings nhìn Tiểu Túc, giọng nghiêm túc, "cậu bắt đầu nghiên cứu lý thuyết của Mochizuki từ khi nào?"

"Hôm qua," Tiểu Túc trả lời thành thật.

"Nghe lần đầu tiên, cậu đã tìm ra sai lầm này?"

“Sai lầm vốn dĩ không hề phức tạp,” Tiểu Túc nói, “chỉ là bị che giấu bởi những cách diễn đạt rắc rối.”

Faltings nhìn chằm chằm vào anh vài giây, rồi bật cười.

“Tốt, rất tốt,” ông nói, “ngày mai tôi sẽ lắng nghe bài báo cáo của anh cẩn thận.”

Nói xong, vị giáo sư toán học nổi tiếng nghiêm khắc quay lưng rời khỏi hội trường báo cáo.

Tiểu Túc đứng nguyên tại chỗ, chẳng mấy chốc đã bị vây quanh bởi một nhóm người—Soholtz, Deligne, cùng những học giả khác muốn làm quen với anh.

Câu hỏi, lời chúc mừng, lời mời gọi tuôn ra như sóng vỗ.

Cố Thanh Sâm chen qua, kéo anh ra khỏi đám đông.

“Đi thôi,” Cố Thanh Sâm nói, “anh cần nghỉ ngơi. Buổi chiều còn phải nghe báo cáo nữa.”

Họ bước ra khỏi hội trường, ánh nắng mùa đông xuyên qua cửa sổ hành lang chiếu xuống sàn, tạo nên những vệt sáng rực rỡ.

Hành lang yên tĩnh, tương phản rõ rệt với sự ồn ào trong hội trường.

“Cảm thấy thế nào?” Cố Thanh Sâm hỏi.

Tiểu Túc suy nghĩ một lát rồi nói: “Toán học vốn thế. Đúng là đúng, sai là sai.”

“Nhưng có thể nhìn ra đúng sai nhanh như vậy, trên toàn thế giới này chẳng mấy người,” Cố Thanh Sâm cười nói, “anh biết mình vừa làm gì chưa? Anh đã chấm dứt cuộc tranh cãi kéo dài tám năm trong giới toán học.”

Tiểu Túc lắc đầu: “Tôi chỉ làm những gì đáng lẽ phải làm.”

“Khiêm tốn là đức hạnh,” Cố Thanh Sâm vỗ vai anh, “nhưng thành tựu đáng được công nhận thì cũng phải thừa nhận. Đi thôi, đi ăn trưa. Lúc hai giờ chiều, còn có bài báo cáo của Terence Tao, tôi nghĩ anh sẽ quan tâm.”

“Terence Tao? Chủ đề là gì?”

“Những tiến triển của lý thuyết nén cảm nhận, cùng ứng dụng trong phân tích sóng nhỏ.” Cố Thanh Sâm nhìn vào lịch trên điện thoại.

Tiểu Túc gật đầu.

Hai người bước xuống cầu thang, rời khỏi tòa nhà khoa Toán.

Trên bãi cỏ, vài chú sóc đang đuổi nhau, xa xa tiếng chuông tháp vọng lại báo hiệu buổi trưa.

Mùa đông Princeton, ánh nắng vừa vặn.

Còn phía sau họ, trong hội trường 209, những huyền thoại về Tiểu Túc đang lan truyền với tốc độ kinh ngạc.

…

Ánh nắng buổi chiều chiếu xiên vào hội trường 103 của khoa Toán, rộng hơn hội trường buổi sáng của Shinichi Mochizuki, có thể chứa hai trăm người, giờ đã kín chỗ.

Terence Tao đứng trên bục điều chỉnh micro.

Vị giáo sư toán học gốc Hoa bốn mươi tư tuổi mặc chiếc sơ mi Oxford màu xanh nhạt, tay áo xắn lên đến cẳng tay, quần kaki sẫm màu, toát ra vẻ điềm tĩnh ôn hòa.

Ông được giới toán học công nhận là “thiên tài toàn năng.”

Ba mươi mốt tuổi giành giải Fields, lĩnh vực nghiên cứu trải rộng từ lý thuyết số, giải tích điều hòa, phương trình vi phân từng phần, toán tổ hợp, và luôn có thể tạo nên những kết nối đầy sáng tạo giữa các lĩnh vực khác nhau.

Tiểu Túc và Cố Thanh Sâm tìm được chỗ ngồi ở hàng thứ ba.

Tiểu Túc ngồi xuống, mắt nhìn về phía bục giảng.

Ngồi xuống, Tiểu Túc để ý thấy trước hàng có khá nhiều gương mặt quen thuộc: Deligne, Scholtz, Faltings, cùng với người vừa trải qua "thảm bại học thuật" vào buổi sáng, Mochizuki Shinichi. Người này ngồi ở góc, vẻ mặt bình thản, tay cầm cuốn sổ ghi chép, trông như đã điều chỉnh lại tâm trạng.

"Tào Triết Uyên có duyên lắm," Cố Thanh Sâm nói nhỏ, "tính tình ôn hòa, gu toán học hạng nhất, lại đặc biệt hay giúp đỡ học giả trẻ. Blog của anh ấy 'Toán học là gì' là trang đọc bắt buộc của hầu hết sinh viên toán, nên mới có nhiều người đến thế."

Tiểu Túc gật đầu.

Anh từng đọc nhiều bài báo của Tào Triết Uyên, ấn tượng nhất là công trình về định lý Green-Tào. Anh ấy đã chứng minh rằng cấp số cộng nguyên tố có thể dài tùy ý, một thành tựu đột phá kết hợp khéo léo giữa lý thuyết số và toán tổ hợp, ngay từ đầu bài báo đã truyền cảm hứng rất lớn cho Tiểu Túc.

Hai giờ đúng, buổi thuyết trình bắt đầu.

"Cảm ơn mọi người," Tào Triết Uyên lên tiếng, giọng nói rõ ràng qua micro vang khắp hội trường, "hôm nay tôi muốn thảo luận về một số tiến triển mới trong lý thuyết nén cảm nhận, đặc biệt là cách kết hợp nó với phân tích wavelet để ứng dụng trong biểu diễn thưa của dữ liệu đa chiều."

Anh ấy bấm vào slide đầu tiên, trên đó là một sơ đồ đơn giản.

Một điểm trong không gian đa chiều, thông qua một "ma trận đo lường" nào đó, được chiếu xuống không gian có số chiều thấp hơn, rồi lại thông qua thuật toán tối ưu, khôi phục lại tín hiệu gốc đa chiều từ các phép đo lường thưa.

"Trọng tâm của nén cảm nhận khá phản trực giác," Tào Triết Uyên mỉm cười nói, "truyền thống ta vẫn nghĩ, để khôi phục hoàn toàn một tín hiệu, cần ít nhất số phép đo bằng với số chiều của tín hiệu. Nhưng nén cảm nhận cho ta biết: nếu tín hiệu vốn đã 'thưa'."

"Nghĩa là, trong một cơ sở nào đó, chỉ có vài thành phần khác không. Khi ấy, chỉ cần dùng số phép đo ngẫu nhiên ít hơn nhiều so với chiều tín hiệu, ta vẫn có thể khôi phục nó một cách chính xác với xác suất cực cao."

Tiểu Túc ngồi thẳng người lên.

Khái niệm này khiến anh nghĩ đến thứ khác.

Không phải xử lý tín hiệu, mà là lý thuyết số.

Sự phân bố số nguyên tố vốn thưa thớt, trong dãy số nguyên, tần suất xuất hiện của số nguyên tố càng ngày càng thưa dần, nhưng chúng lại chứa đựng toàn bộ thông tin cấu trúc của phép nhân trong tập hợp số nguyên.

Vậy, liệu có thể nhìn nhận số nguyên tố dưới góc độ "nén cảm nhận" chăng?

Tào Triết Uyên tiếp tục giảng giải, dần đi sâu vào chi tiết toán học.

Đầu tiên, anh giới thiệu RIP, tức thuộc tính đẳng cự giới hạn. Đây là nền tảng lý thuyết của nén cảm nhận, mô tả điều kiện mà ma trận đo lường cần phải thỏa mãn.

Sau đó, anh chuyển sang phân tích wavelet, giải thích cách sử dụng cơ sở wavelet để biểu diễn đặc trưng cục bộ của tín hiệu.

"Điểm mấu chốt ở đây," Tào Triết Uyên chuyển sang slide chứa công thức toán học phức tạp, "là chúng ta có thể thiết kế một phương án đo lường hỗn hợp."

"Đầu tiên dùng ma trận Gaussian ngẫu nhiên để đo lường toàn cục, sau đó dùng phép đo lường wavelet cục bộ để nắm bắt chi tiết. Nhờ vậy, thuật toán khôi phục có thể tận dụng đồng thời tính thưa toàn cục và tính chính quy cục bộ của tín hiệu."

Tiểu Túc bắt đầu suy nghĩ lan man.

Tính thưa toàn cục... Tính chính quy cục bộ...

Trong vấn đề số nguyên tố sinh đôi, sự phân bố của các cặp số nguyên tố vừa mang tính quy luật toàn cục, chẳng hạn như mật độ tiệm cận được mô tả bởi định lý số nguyên tố, lại vừa có thể thể hiện "tụ tập" cục bộ nào đó, như những cấu trúc cụm số nguyên tố.

Các công cụ sàng lọc truyền thống giỏi xử lý thống kê toàn cục, nhưng lại khá vụng về trước cấu trúc cục bộ.

Nếu... nếu có thể thiết kế một "phương án đo lường hỗn hợp" về mặt lý thuyết nhỉ?

Không phải đo lường thực tế, mà là một công cụ lý thuyết, vừa nắm bắt tính thưa toàn cục trong phân bố số nguyên tố, vừa nắm bắt mối tương quan cục bộ?

Tôi mở cuốn sổ ghi chép từ trong ba lô ra, nhanh chóng ghi lại vài từ khóa quan trọng. Động tác ấy khiến người ngồi cạnh là Cố Thanh Dần chú ý, nhưng anh ta không làm phiền.

Buổi báo cáo bước sang phút thứ bốn mươi, Terence Tao bắt đầu trình bày một ứng dụng cụ thể—đó là phương pháp nén cảm nhận dùng để xử lý nhiễu trong hình ảnh thiên văn.

“Kính viễn vọng thiên văn chụp lại hình ảnh thường bị nhiễu loạn bởi đủ loại tạp âm. Những phương pháp khử nhiễu truyền thống có thể vô tình làm mờ đi những tín hiệu thiên thể yếu ớt,” Terence Tao vừa nói vừa trình chiếu một loạt hình ảnh so sánh.

“Nhưng nếu chúng ta biểu diễn hình ảnh dưới dạng sóng nhỏ, nhiễu thường là dày đặc, còn tín hiệu thật sự lại thưa thớt. Nhờ vậy, thông qua thuật toán tối ưu thích hợp, ta có thể ‘tách rời’ tín hiệu khỏi nhiễu.”

Ông trình bày một bài toán tối ưu hóa:

min ||x||₁

thỏa mãn Ax = b + ε

“Ở đây x là hệ số trong cơ sở sóng nhỏ, A là ma trận đo lường, b là dữ liệu quan sát, ε là nhiễu. Mục tiêu là tối thiểu hóa chuẩn L1 của x, tức là tổng giá trị tuyệt đối của các hệ số. Tối thiểu hóa L1 có xu hướng tạo ra nghiệm thưa thớt, vừa khớp với đặc tính của tín hiệu thật sự.”

Tôi nhìn chằm chằm vào bài toán tối ưu ấy, trong đầu thoáng hiện một ý tưởng.

Vấn đề song sinh nguyên tố vốn tìm kiếm những cặp số nguyên (p, p+2) thỏa mãn điều kiện nhất định.

Điều này cũng có thể xem như một “bài toán khôi phục tín hiệu thưa thớt”: giữa vô số số nguyên, đánh dấu những vị trí vừa là số nguyên tố, vừa cách số nguyên tố kế tiếp đúng hai đơn vị.

Nếu ta hình thức hóa quá trình tìm kiếm ấy thành một dạng bài toán tối ưu thì sao?

Không phải tối ưu số trị, mà là tối ưu tổ hợp—trong không gian khổng lồ của tập hợp số nguyên, tìm ra tập con thỏa mãn tính thưa thớt và tương quan nhất định.

Buổi báo cáo kết thúc trong tiếng vỗ tay nồng nhiệt.

Terence Tao dành mười sáu phút để trả lời câu hỏi, rồi tuyên bố bắt đầu giờ nghỉ giải lao.

Đám đông bắt đầu di chuyển.

Tôi vẫn ngồi tại chỗ, suy nghĩ về cảm hứng vừa nảy ra.

Cố Thanh Dần vỗ vai tôi: “Cậu không đến chào giáo sư Tao à? Tôi nghĩ ông ấy sẽ rất vui được gặp cậu.”

Tôi ngẩng đầu lên, thấy Terence Tao đang bị bao quanh bởi đám đông, nhưng vẫn gật đầu: “Được.”

Chúng tôi đợi vài phút, đến khi đám đông tan bớt, mới tiến lên phía trước.

“Thưa giáo sư Tao,” Cố Thanh Dần lên tiếng trước, “tôi là Cố Thanh Dần, khoa Toán Đại học Kính Đại. Đây là học trò của tôi, Tiểu Túc.”

Đôi mắt Terence Tao lập tức sáng lên:

“Tiểu Túc! Sáng nay tôi đã nghe nói về chuyện cậu ở giảng đường 209 rồi. Tôi định sau buổi nói chuyện sẽ tìm cậu.”

Ông giơ tay ra, nụ cười chân thành:

“Rất xuất sắc. Lý thuyết của giáo sư Mochizuki đã khiến giới toán học bối rối bao năm nay. Cậu đã tìm ra điểm mâu thuẫn then chốt ấy, và bằng cách hết sức gọn gàng.”

Tôi bắt tay ông.

“Cảm ơn thầy. Báo cáo của thầy cũng cho tôi nhiều cảm hứng.”

“Ồ?” Terence Tao tỏ vẻ thích thú, “Về ứng dụng nén cảm nhận trong lý thuyết số à?”

Tôi gật đầu, hơi ngạc nhiên vì sao ông đoán ra được.

“Tôi vừa nhận ra cậu ghi chép rất cẩn thận khi nghe báo cáo và ánh mắt cũng rất tập trung.” Tào Triết Uyên mỉm cười nói, “Đó là trực giác của một nhà toán học. Cậu có muốn cùng nhau uống tách cà phê không? Tôi vừa rảnh.”

Cố Thanh Sâm rất hiểu chuyện, liền nói: “Hai người cứ nói chuyện đi, tôi đi gặp mấy người bạn cũ.”