Chương 29: Bản thảo đầu tiên đã hoàn thành

Vẫn là tầng bốn khu Đông thư viện. Tiêu Túc lần này chọn một góc sát tường. Cậu đặt ba lô lên ghế bên cạnh, lấy laptop ra.

Bảy giờ tối, trong thư viện vẫn còn khá đông người. Phía xa có tiếng học sinh tranh luận vấn đề nhỏ, gần đây có người lật sách tra cứu tài liệu, tiếng gõ bàn phím dồn dập không ngớt. Nhưng với Tiêu Túc, tất cả những âm thanh ấy đều trở thành tạp âm nền, tự động bị lọc bỏ.

Cậu mở một tệp trống, gõ tiêu đề trước: *Khám phá sơ bộ phương pháp hiệu chỉnh sai số ước lượng điểm hữu tỉ dựa trên cấu trúc không gian song sinh hoàn hảo và phép đo trọng số*.

Con trỏ nhấp nháy sau tiêu đề. Tiêu Túc nhìn chằm chằm vào màn hình vài giây, rồi hít sâu một hơi, đặt ngón tay lên bàn phím.

Bắt đầu.

Phần lời dẫn cậu viết nhanh chóng. Đầu tiên, cậu điểm qua ngắn gọn vấn đề tích lũy sai số trong ứng dụng lý thuyết không gian hoàn hảo của giáo sư Lạp Can mà thầy từng nhắc đến. Rồi cậu chỉ ra mâu thuẫn cốt lõi: phương pháp cổ điển nâng cấp không thể tránh khỏi sự khuếch đại sai số, cần một khung lý thuyết mới để "thuần phục" những sai lệch ấy.

"Bài viết này sẽ đề xuất một phương án hiệu chỉnh dựa trên trọng số," cậu gõ phím nhanh đến mức như bay, "bằng cách trực quan hóa cấu trúc song sinh của không gian hoàn hảo thành mô hình cây phân dạng, đồng thời giới thiệu hàm trọng số động phụ thuộc vào phân bố sai số, nhằm đạt được sự tự bù trừ sai số trong quá trình nâng cấp."

Viết đến đây, cậu dừng lại.

Những ý tưởng rời rạc trong đầu bỗng nhiên hút vào nhau, sắp xếp, kết hợp, như những khối gạch rời rạc bỗng tìm thấy những khe khớp hoàn hảo. Lờ mờ, hình bóng câu trả lời dần hiện lên trong tâm trí.

Nhưng hình bóng chưa phải tòa lâu đài.

Cậu biết, điều thực sự khó khăn không nằm ở việc nắm bắt cảm hứng, mà ở chỗ biến nó thành một lý thuyết toán học hoàn chỉnh, chặt chẽ, có thể kiểm chứng. Cậu không chỉ cần câu trả lời cho vấn đề này, mà còn cần một "ngữ pháp" tử tế, biến những trực giác nhảy nhót trong đầu thành ngôn ngữ toán học vững chãi.

Và cậu cũng rõ ràng nhận ra, điều đó không hề dễ dàng.

Xây dựng một khung lý thuyết mới từ hư vô chưa bao giờ là chuyện nhẹ nhàng. Nhưng nếu hoàn thành, cậu có thể sáng tạo ra một công cụ toán học mới.

Trên dòng thời gian toán học dài dằng dặc, những nhà toán học đạt được thành tựu như vậy, đếm trên đầu ngón tay. Nói một ví dụ khá nổi tiếng, thần đồng toán học Gauss.

Cuối thế kỷ XVIII, chàng thiếu niên người Đức ấy chỉ bằng thước kẻ và compa đã dựng được hình thất giác đều mười bảy cạnh, phá giải bài toán hình học tồn đọng hai nghìn năm. Nhưng ảnh hưởng sâu xa hơn của ông, vẫn là việc sáng lập nên phương pháp "bình phương tối thiểu" - từ đó trở thành nền tảng của toàn bộ lý thuyết xử lý sai số.

Vì những lý do tương tự mà được đưa vào sách giáo khoa còn có phương pháp khử Gauss, phương pháp lặp Newton, ký hiệu vi tích phân của Leibniz, biến đổi Laplace, phân tích Fourier... Tất cả đều nổi danh, là những ngọn núi lớn mà bất kỳ nhà toán học nào cũng phải vượt qua.

Và những phương pháp nay giờ đây được ghi chép vào từng cuốn sách giáo khoa, trước khi chúng ra đời, ai có thể tiên đoán toán học lại có thể “chơi” theo cách này? Những người sáng tạo ra công cụ mới và những kẻ chỉ biết sử dụng công cụ ấy vốn chẳng thể ngang cùng một tầng bậc.

Trong tiết học thứ hai, anh ấy cần phải định nghĩa nghiêm ngặt hình thức của “độ đo có trọng” trong khung lý thuyết không gian hoàn hảo. Việc ấy phải bắt đầu từ con số không.

Anh ấy lập ra một tập tin phụ mới, bắt đầu liệt kê những khái niệm cần dùng.

Trường hoàn hảo (perfectoid field)……

Phép nghiêng (tilting)……

Giới hạn ngược……

Cấu trúc phân tầng……

Trọng số nhánh……

Điều kiện tương thích……

Mỗi khái niệm đều cần một định nghĩa chính xác, mỗi định nghĩa lại phải tương thích với lý thuyết hiện có nhưng không được sa vào giới hạn cũ.

Thời gian cứ trôi dần.

Chín giờ tối, loa thư viện vang lên giai điệu nhẹ nhàng nhắc nhở: “Các bạn đọc giả thân mến, thư viện sẽ đóng cửa vào lúc mười giờ, mong các bạn sắp xếp thời gian hợp lý.”

Tiêu Túc ngẩng đầu nhìn rồi lại cúi xuống tiếp tục.

Mười giờ, bản nhạc đóng cửa vang lên.

Nhân viên quản lý bắt đầu đi tuần tra, nhắc nhở những sinh viên còn ngồi lại tại chỗ.

Tiêu Túc lưu tập tin, thu dọn đồ đạc, nhưng trong đầu anh ấy vẫn căng như dây đàn.

Bước ra khỏi thư viện, cơn gió lạnh thổi qua, trái lại càng khiến anh tỉnh táo hơn.

Trở về phòng 412, tòa nhà Minh Đức, đã mười giờ rưỡi.

Đẩy cửa vào, một làn sóng nóng bức pha lẫn mùi mì gói và hương vị tuổi trẻ ùa đến.

Trần Lâm và Chu Vũ Huyền đang chen chúc trước máy tính của Vũ Huyền, màn hình rực rỡ sắc màu trò chơi, hai người đeo tai nghe, miệng hô:

“Bên trái bên trái! Có người!”

“Mẹ nó, bắn tệ quá!”

“Bắn bổ sung! Đừng để nó chạy thoát!”

Bàn phím chuột gõ lách cách vang lên.

Lâm Tư Nguyên nằm trên giường tầng lướt điện thoại, thấy Tiêu Túc về, liền đưa tay lên: “Túc ca về rồi? Ăn vặt đêm chưa?”

Tiêu Túc lắc đầu, đặt cặp sách xuống bàn mình.

Anh ấy lấy laptop ra, cắm điện, mở lại tập tin đó.

Tiếng ồn náo của phòng kí túc như bị ngăn cách bởi một bức màn, mờ nhạt không rõ.

Anh ấy đã hoàn toàn tập trung vào khung lý thuyết chưa hoàn chỉnh trên màn hình. Trần Lâm chơi xong một ván, tháo tai nghe quay lại.

"Tiểu Tử, lại viết luận văn à? Tần suất của cậu cao quá đấy, còn cho người thường sống không?"

Tiêu Túc "ừ" một tiếng, mắt không rời khỏi màn hình.

Lâm Tư Nguyên từ giường trên thò đầu xuống: "Tiểu Tử, cậu đang làm cái dự án lớn à? Tớ thấy cậu từ chiều về đến giờ cứ như mất hồn vậy."

"Giải quyết một vấn đề sai số."

Tiêu Túc trả lời ngắn gọn, ngón tay vẫn lướt trên bàn phím.

"Sai số?" Trần Lâm quan tâm, "Sai số gì? Sai số đo lường? Sai số tính toán?"

"Sai số tích lũy trong quá trình nâng cấp không gian hoàn hảo."

Ký túc xá im lặng ba giây.

Trần Lâm gãi đầu: "Cái đó... Tiểu Tử, cậu có thể nói tiếng người không?"

Tiêu Túc ngừng lại, cố gắng giải thích bằng ngôn ngữ đơn giản nhất:

"Nói nôm na là khi đem kết quả tính toán từ thế giới này sang thế giới khác, sẽ phát sinh sai lệch. Sai lệch rất nhỏ, nhưng nếu đem nhiều lần, kết quả sẽ hoàn toàn sai."

"Ờ—" Trần Lâm kéo dài giọng, "Giống như tớ chép bài, chép sai một dấu thập phân, cuối cùng đáp án chênh nhau mười vạn tám ngàn dặm ấy?"

"Tương tự."

Tiêu Túc gật đầu, nhưng bổ sung thêm, "Nhưng phức tạp hơn."

Chu Vũ Huyền có vẻ suy nghĩ: "Vậy cậu đang phát minh một phương pháp mới, để quá trình 'vận chuyển' này không phát sinh sai lệch?"

"Không phải không phát sinh, mà là tự động sửa chữa."

Tiêu Túc nói, "Thêm vào mỗi lần vận chuyển một 'hệ số sửa chữa', khi sai lệch lớn thì giảm hệ số, khi sai lệch nhỏ thì tăng hệ số, cuối cùng kết quả tổng vẫn chính xác."

"Siêu quá!" Trần Lâm giơ ngón cái lên, "Mặc dù chẳng hiểu gì, nhưng cảm giác rất siêu!"

Tiêu Túc không giải thích thêm, quay lại nhìn màn hình.

Anh ấy cần vượt qua thử thách tiếp theo: làm thế nào chứng minh khung thước đo có trọng số này trong toán học là xác định tốt?

Nói cách khác, phải chứng minh chặt chẽ sự tồn tại, tính duy nhất của những hàm trọng số ấy, cùng những tính chất toán học mà chúng phải thỏa mãn.

Cứ như xây một ngôi nhà, chỉ có bản thiết kế là chưa đủ, còn phải chứng minh vật liệu đủ chắc, kết cấu đủ vững, có thể chịu được mọi tình huống khắc nghiệt.

Đêm khuya mười một giờ, Trần Lâm và Chu Vũ Huyền chơi xong ván cuối cùng, đi rửa mặt đánh răng lên giường ngủ.

Lâm Tư Nguyên từ lâu đã ngáy khò khò.

Đèn ký túc xá tắt, chỉ còn chiếc đèn bàn trên bàn Tiêu Túc vẫn sáng, cùng ánh sáng từ màn hình laptop, soi rõ khuôn mặt tập trung của anh.

Tiếng gõ bàn phím trong đêm tĩnh mịch nghe rõ mồn một.

Tiêu Túc hoàn toàn chìm vào trạng thái.

Cảm giác ấy thật kỳ diệu, giống như thợ lặn đang lặn trong vùng biển sâu, xung quanh tối đen, chỉ có vùng ánh đèn pin chiếu ra là rõ ràng.

Và anh phải trong bóng tối ấy, từng chút từng chút khám phá ra hình dáng của toàn bộ dãy núi dưới đáy biển.

Nửa đêm, anh ấy bị kẹt lại. Điều kiện tương thích của hàm trọng số đòi hỏi phải thỏa mãn một hệ phương trình hàm phức tạp. Anh thử vài cách xây dựng, hoặc quá mạnh dẫn đến vô nghiệm, hoặc quá yếu không thể đảm bảo sự tồn tại của giới hạn.

Tiêu Túc đứng dậy, bước nhẹ trong hành lang chật hẹp của ký túc xá. Bên trong ký túc xá yên tĩnh đến mức có thể nghe rõ nhịp thở đều đặn của ba bạn cùng phòng. Anh đi đến bên cửa sổ, kéo rèm lên một góc. Bên ngoài là khuôn viên trường đang chìm trong giấc ngủ, ánh sáng từ đèn đường xa xa trong đêm lạnh hiện lên ấm áp lạ thường. Vài ngôi sao lấp ló sau khe mây.

Bỗng anh nhớ lại lần trò chuyện với Cố Thanh Đạm. Cô ấy từng nói với anh:

“Tiêu Túc, em có biết không? Rất nhiều đột phá lớn trong toán học không phải đi theo con đường mà người đi trước đã dọn sẵn. Mà là có người đột nhiên rẽ sang một lối khác, bước vào vùng đất hoang vu tưởng chừng như vô dụng, rồi lại tìm thấy kho báu ở đó.”

Cố Thanh Đạm từng nói thế, ánh mắt lấp lánh ký ức:

“Thầy Cốc Siêu Hào thường nói với chúng em, phẩm chất quý giá nhất trong nghiên cứu toán học không phải là thông minh, cũng không phải siêng năng, mà là ‘sự ngu dốt sáng tạo’.”

“‘Sự ngu dốt sáng tạo’?” Tiêu Túc lúc đó không hiểu.

“Đó chính là dám dùng những phương pháp mà người khác cho rằng ‘làm sao có thể được’ để thử nghiệm.”

Cố Thanh Đạm cười:

“Giống như năm xưa Grothendieck xây dựng lý thuyết lược đồ, biết bao người cho rằng anh ta điên rồ khi xây dựng toàn bộ hình học đại số trên một ngôn ngữ trừu tượng đến vậy? Nhưng cuối cùng, lý thuyết của ông ấy mới chính là khuôn khổ thực sự mạnh mẽ.”

Tiêu Túc đứng trước cửa sổ, bắt đầu sắp xếp lại những khái niệm rối rắm trong đầu.

Nếu… nếu không bắt đầu từ phương trình hàm thì sao?

Nếu thay đổi góc nhìn, không xem hàm trọng số như một đại lượng vô định cần “giải”, mà xem nó như sự “hiện hữu tự nhiên” của một cấu trúc nào đó thì sao?

Ý nghĩ ấy vụt sáng như tia lửa.

Anh nhanh chóng quay lại bàn làm việc, vẽ một sơ đồ trên giấy nháp.

Cấu trúc phân tầng của không gian hoàn hảo giống như một tòa tháp, mỗi tầng là một mở rộng hữu hạn.

Trọng số không nên được định nghĩa tầng tầng lớp lớp, mà nên được xem như một “tính chất toàn thể” của toàn bộ tòa tháp, một đại lượng nào đó bất biến tự nhiên trong quá trình giới hạn ngược.

“Đối đồng điều…”

Anh thì thầm thốt ra từ ấy.

Đúng rồi, có thể dùng ngôn ngữ đối đồng điều tầng!

Mã hóa thông tin trọng số thành một tầng có cấu trúc đặc biệt, sau đó chứng minh tầng ấy sở hữu tính chất tốt trong quá trình giới hạn của không gian hoàn hảo.

Sự tồn tại của trọng số không còn là “được xây dựng ra”, mà là điều được đảm bảo bởi chính cấu trúc lý thuyết!

Mắt Tiêu Túc sáng rực.

Anh ngồi lại trước máy tính, ngón tay lướt nhanh trên bàn phím.

Những công thức trên màn hình lần lượt xuất hiện, chặt chẽ và tinh tế.

Ba giờ sáng, tiếng thở đều của các bạn cùng phòng đã chìm vào giấc ngủ sâu. Bên cạnh Xiao Su, chiếc cốc nước trống không, đầy rồi lại cạn, cứ thế lặp đi lặp lại. Thái dương của anh đau nhói, đó là cái giá phải trả cho những giờ phút tập trung cao độ. Nhưng tinh thần anh lại vô cùng hưng phấn.

Bốn giờ sáng, chứng minh cho định lý cốt lõi đã hoàn tất. Anh chứng minh được rằng trong khuôn khổ của không gian hoàn hảo, tồn tại duy nhất một họ các hàm trọng số thỏa mãn điều kiện tương thích cần thiết, và có thể tự nhiên dẫn xuất ra một metric trọng số được định nghĩa tốt. Metric này trong quá trình nâng cấp sẽ tự động sửa sai lệch, đảm bảo tính hiệu quả của kết quả ước lượng cuối cùng.

Xiao Su dựa lưng vào ghế, thở dài một hơi dài. Nhìn vào màn hình hiển thị toàn bộ quá trình chứng minh, niềm hạnh phúc ấy khó có thể diễn tả bằng lời. Đó không phải là niềm vui khi giải được một bài toán khó, mà là sự thỏa mãn khi từ hư vô kiến tạo nên một công cụ mới.

Anh nhớ lại lời nhận xét của Cố Thanh Uyên dành cho mình trước đây.

"Cậu bé Xiao Su giỏi nhất không phải ở chỗ giải bài nhanh hay hiểu biết sâu rộng, mà chính là tư duy toán học sáng tạo. Cậu ấy nhìn vấn đề không bao giờ bị bó buộc trong khuôn khổ hiện có, luôn tìm ra những góc nhìn mà người khác không nghĩ tới."

"Một khi cậu ấy bổ sung đầy đủ kiến thức nền tảng, xây dựng vững chắc hệ thống lý thuyết, dựa vào trực giác và sự sáng tạo ấy, biết đâu sẽ thực sự tạo ra những công cụ toán học mới, giải quyết được những vấn đề nan giải từ lâu."

Tạo ra công cụ mới... Giờ đây anh đã thực sự làm được điều đó, giống như phương pháp khử Gauss, biến đổi Fourier ấy, biết đâu sau này học sinh sẽ thấy "Phương pháp hiệu chỉnh metric trọng số của Xiao" trong sách giáo khoa?

Nếu chú ấy biết anh hoàn thành công trình này, chú ấy sẽ nói gì nhỉ?

Khóe môi anh khẽ nâng lên.

Nhưng anh lập tức lắc đầu, kéo sự tập trung trở về thực tại. Khuôn khổ lý thuyết đã dựng xong, tiếp theo phải viết phần ứng dụng, cụ thể áp dụng metric trọng số này vào ước lượng điểm hữu tỉ, đồng thời cải tiến phương pháp của giáo sư Green.

Năm giờ rưỡi sáng, bầu trời bắt đầu hửng sáng.

Xiao Su gõ dấu chấm cuối cùng, lưu tài liệu. Bản thảo đầu tiên đã hoàn thành.

Từ lúc chiều hôm qua, khi ý tưởng ấy vụt lóe trong văn phòng của Cố Thanh Uyên, đến nay khuôn khổ lý thuyết hoàn chỉnh đã được dựng lên, chưa đầy hai mươi tư giờ. Nhưng hai mươi tư giờ ấy, cường độ suy nghĩ đã bằng mấy tháng miệt mài của người thường.

Hơn thế nữa, đây không phải là sự chồng chất đơn thuần của những phép tính, mà chính là sự sáng tạo đích thực. Từ hỗn mang rút ra trật tự, từ mơ hồ định nghĩa rõ ràng, từ bất khả tìm ra khả năng.

Xiao Su tắt máy tính, rửa mặt sơ qua rồi trèo lên giường. Khi nằm xuống, đầu óc anh vẫn không ngừng nghĩ về những bước chứng minh, kiểm tra xem có kẽ hở logic nào không.

Nhưng sự mệt mỏi như sóng trào dâng, anh nhắm mắt, hầu như ngay lập tức chìm vào giấc ngủ.