Chương 46: Giải quyết

Hai ngày tiếp theo, Tiểu Túc hầu như chìm trong phòng thí nghiệm của khoa Tin học. Anh vẫn đang suy nghĩ về dạng cụ thể của sự chính quy trên đa tạp. Mạng xã hội vốn dĩ là sự nhúng không gian chiều cao, bản chất là một tập hợp các vector, những vector này lẽ ra phải nằm trên một đa tạp chiều thấp nào đó—đó là trực giác của anh, nhưng cần phải có chứng minh toán học chặt chẽ.

Anh vẽ sơ đồ trên bảng trắng. Một không gian chiều cao, bên trong là một đa tạp cong chiều thấp, các điểm dữ liệu phân bố trên đó.

"Giống như những thiên hà trong vũ trụ vậy," Lý Vũ Vi nhìn vào sơ đồ nói, "trông có vẻ rải rác trong không gian ba chiều, nhưng thực ra có thể phân bố trên những màng hai chiều nào đó, phải không? Đó là lý thuyết dây phải vậy chứ?"

Tiểu Túc gật đầu. Dạo gần đây anh đọc vật lý lý thuyết, quả thật đã từng thấy khái niệm tương tự.

Sự kỳ diệu của toán học chính là ở chỗ, những cấu trúc từ các lĩnh vực khác nhau thường giống nhau một cách đáng kinh ngạc.

Sáng hôm sau, khi đang lật sách trong thư viện, anh chợt nảy ra ý tưởng. Cuốn sách ấy tên là *Biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie*, tác giả là nhà toán học người Pháp, Serge Lang.

Trong sách có một chương nói về hình học của không gian thuần nhất, đề cập rằng mỗi không gian thuần nhất đều có thể xem như không gian thương của một nhóm Lie chia cho một nhóm con đóng.

Và trên không gian thương ấy, nhóm Lie tự nhiên tác động, mang lại sự đối xứng phong phú.

Tiểu Túc nhìn chằm chằm vào một đoạn trong sách suốt một lúc:

"Hình học trên không gian thuần nhất hoàn toàn được quyết định bởi lý thuyết biểu diễn của nhóm Lie."

Bỗng nhiên, những ý tưởng mờ mịt trước kia bỗng trở nên rõ ràng.

Mối quan hệ tương đồng giữa người dùng trong mạng xã hội có thể cấu thành một dạng đối xứng gần đúng nào đó. Nếu người dùng A tương đồng với người dùng B, người dùng B tương đồng với người dùng C, thì người dùng A và người dùng C cũng nên có sự tương đồng nào đó.

Điều này không hoàn toàn đối xứng, nhưng gần như thỏa mãn tính bắc cầu. Dạng "đối xứng gần đúng" này có thể được mô tả bằng "tác động mềm" của nhóm Lie, tức là cho phép tác động có sai số nhỏ.

Nếu lấy không gian nhúng là một không gian thuần nhất của nhóm Lie nào đó, thì sự biến đổi giữa các vector nhúng có thể được biểu diễn bằng các phần tử nhóm, còn tính ổn định của sự nhúng tương ứng với tính liên tục của tác động nhóm.

Ý tưởng này thật táo bạo.

Bởi vì lý thuyết nhóm Lie thường được ứng dụng trong vật lý lý thuyết và những lĩnh vực sâu xa của toán học thuần túy, rất ít người đem nó áp dụng vào những vấn đề "phàm tục" như thiết kế thuật toán.

Nhưng Tiểu Túc cảm thấy điều đó rất tự nhiên, công cụ toán học không phân biệt cao thấp sang hèn, chỉ có thích hợp hay không mà thôi.

Buổi chiều hôm ấy, Tiểu Túc mang ý tưởng ấy trở lại phòng thí nghiệm. Triệu Minh Viễn cùng mấy nghiên cứu sinh tiến lại gần, nghe anh giải thích.

Tiểu Túc vẽ một sơ đồ mới trên bảng trắng.

"Chúng ta không tìm kiếm một đa tạp chiều thấp thông thường."

"Mà là quỹ đạo tác động của một nhóm Lie. Nói chính xác hơn, là không gian thuần nhất G/H thu được từ nhóm Lie G chia cho nhóm con đóng H."

Anh ấy viết lên bảng trắng:

"Cho G là một nhóm Lie, H là một nhóm con đóng, thì không gian thuần nhất M=G/H sẽ có một tác động tự nhiên của G: g·(xH) = (gx)H.

"Nếu ánh xạ nhúng f:V→M của chúng ta biến các nút đồ thị thành các điểm trong không gian thuần nhất M, thì sự tương tự giữa các nút có thể được đo lường bằng khoảng cách trên M."

"Và khoảng cách này là bất biến dưới tác động của G—nếu hai vector nhúng sai khác bởi một tác động của phần tử nhóm, thì các nút mà chúng đại diện phải có cùng vai trò cấu trúc."

Phòng thí nghiệm im lặng, chỉ có tiếng bút của Hiểu Túc vạch trên bảng trắng.

Mấy nghiên cứu sinh tiến sĩ cố gắng theo kịp, Hoàng Vĩ Lương thỉnh thoảng gật đầu, Lý Vũ Vi nhíu mày, rõ ràng vẫn còn vài chỗ chưa hiểu hết.

"Nhưng trong bài toán thực tế, tính đối xứng không hoàn toàn."

Triệu Minh Viễn chỉ ra, "Mối quan hệ trong mạng xã hội không đối xứng hoàn toàn."

"Vì vậy chúng ta phải dùng 'tác động mềm'." Hiểu Túc nói, "Cho phép tác động nhóm có sai lệch. Ta có thể định nghĩa một hàm mất mát gồm hai phần: một phần đo mức độ khớp của phép nhúng trên không gian thuần nhất, phần còn lại đo mức độ phá vỡ đối xứng."

Anh ấy viết ra một bài toán tối ưu:

min_{f:V→M,g∈G} Σ_{v∈V} d(f(v), g·f(π(v)))² + λ· Σ_{(u,v)∈E} |d(f(u),f(v)) - w(u,v)|

Trong đó d là khoảng cách trên không gian thuần nhất, π là ánh xạ nào đó giữa các nút, w là trọng số cạnh, λ là tham số điều chuẩn.

"Bài toán tối ưu này có thể giải bằng phương pháp lặp xen kẽ." Hiểu Túc nói, "Cố định f rồi tối ưu g, cố định g rồi tối ưu f. Mỗi bước đều là tối ưu lồi hoặc có nghiệm tường minh."

Khi Hiểu Túc buông bút xuống, cả một khung lý thuyết hoàn chỉnh đã hiện ra trên bảng trắng.

Từ định nghĩa nhóm Lie và không gian thuần nhất, đến xây dựng mô hình nhúng, đến thiết kế thuật toán tối ưu, rồi đến phân tích tính chất lý thuyết.

Phòng thí nghiệm im lặng vài giây, rồi bùng lên những tiếng bàn tán khẽ.

"Khung lý thuyết... quá hoàn chỉnh." Hoàng Vĩ Lương lẩm nhẩm, "Từ nền tảng toán học đến triển khai thuật toán, liền mạch hết."

"Tôi cần thời gian để tiêu hóa." Lý Vũ Vi nói thật lòng, "Tác động nhóm Lie, không gian thuần nhất, đối xứng mềm... những khái niệm này tôi phải về tra tài liệu."

Triệu Minh Viễn thì thực tế hơn: "Giờ cần kiểm chứng thôi. Hiểu Túc, anh ước tính triển khai thuật toán này cần bao nhiêu dòng code?"

Hiểu Túc suy nghĩ.

"Thuật toán cốt lõi khoảng năm trăm dòng. Nhưng cần thư viện tính toán nhóm Lie—ánh xạ mũ, ánh xạ lôgarit, tính đường trắc địa..."

"Chúng ta có sẵn rồi." Triệu Minh Viễn nói, "Phòng thí nghiệm trước giờ đã làm vài dự án tối ưu trên đa tạp, tích lũy khá nhiều code. Tôi sẽ tổ chức mọi người triển khai ngay."

Hai tiếng tiếp theo, phòng thí nghiệm chìm trong trạng thái làm việc hiệu quả.

Triệu Minh Viễn phân công nhiệm vụ, Hoàng Vĩ Lương phụ trách triển khai mô-đun cốt lõi tính toán nhóm Lie, Lý Vũ Vi phụ trách viết thuật toán tối ưu, hai nghiên cứu sinh còn lại phụ trách chuẩn bị dữ liệu thử nghiệm và thiết kế thí nghiệm.

Hiểu Túc ngồi trước bảng trắng, sẵn sàng giải đáp thắc mắc hoặc bổ sung chi tiết toán học khi cần.

Tiếng gõ bàn phím dồn dập và đều đặn, như một bản giao hưởng của thế giới số. Tiêu Tú nhìn quanh phòng thí nghiệm với những con người đang tất bật, bỗng nhiên anh cảm thấy một sự xa lạ kỳ lạ. Anh không còn là người suy nghĩ một mình nữa, mà đã trở thành một phần của cả một tập thể. Cảm giác ấy thật lạ lùng, nhưng không hề khó chịu.

Ba tiếng sau, phiên bản đầu tiên của đoạn mã đã hoàn thành.

"Chạy thử một bộ dữ liệu nhỏ xem." Triệu Minh Viễn nói, giọng đầy căng thẳng và mong đợi.

Chương trình bắt đầu chạy.

Trên màn hình cuộn qua từng dòng nhật ký, hiển thị số lần lặp, giá trị hàm mất mát, tình trạng hội tụ. Mọi ánh mắt đều dán chặt vào màn hình, phòng thí nghiệm im lặng đến mức nghe rõ tiếng quạt gió của chiếc máy chủ.

Năm phút sau, chương trình chạy xong.

Triệu Minh Viễn hít sâu một hơi, mở file kết quả.

Không khí như đông cứng lại.

"Độ chính xác tăng 42%..." Triệu Minh Viễn nhìn chằm chằm vào màn hình, giọng run run, "Và thời gian chạy còn giảm tới 30%."

Lý Vũ Vi tiến lại gần, nhìn kỹ dữ liệu, thở hổn hển:

"Đây không phải là cải tiến, đây là một cuộc cách mạng! Trên bộ dữ liệu Twitter, độ chính xác mà cộng đồng phát hiện từ 71% đã tăng lên 89%, điều này đã vượt qua mức độ của con người!"

Phòng thí nghiệm bùng nổ tiếng reo hò. Hoàng Vĩ Lương và một nghiên cứu sinh tiến sĩ khác vỗ tay chúc mừng, thậm chí có người còn nhảy lên.

Họ đã bị ám ảnh bởi vấn đề này suốt một tháng trời, thử vô số phương pháp, tiến triển chẳng đáng kể, giờ đây cuối cùng cũng nhìn thấy bước đột phá, không phải cải tiến vài phần trăm, mà là bước nhảy vọt về chất.

Triệu Minh Viễn quay sang Tiêu Tú, ánh mắt đầy ngưỡng mộ:

"Tiêu Tú, nếu cậu nộp bài này, chắc chắn sẽ đạt cấp độ SIGCOMM hoặc TOIS."

SIGCOMM là hội nghị hàng đầu trong lĩnh vực mạng máy tính, được mệnh danh là "Oscar của ngành mạng", tỷ lệ chấp nhận bài thường dưới 20%. Một bài báo SIGCOMM đủ để khiến một nghiên cứu sinh tiến sĩ có chỗ đứng trong giới học thuật.

Còn TOIS là tạp chí hàng đầu của ACM về hệ thống thông tin, là nơi xuất bản hàng đầu trong lĩnh vực truy vấn thông tin, hệ thống đề xuất, phân tích mạng xã hội, với hệ số ảnh hưởng lên tới 6,7.

Tiêu Tú không mấy quan tâm đến tên các tạp chí, chỉ gật đầu:

"Vậy thì nộp đi."

"Cậu là tác giả chính." Triệu Minh Viễn nói nghiêm túc, "Chúng tôi chỉ làm phần thực hiện và thí nghiệm. Ý tưởng cốt lõi hoàn toàn là của cậu."

"Mọi người cùng nhau." Tiêu Tú nói một cách tự nhiên.

Với anh, giải quyết được vấn đề mới là quan trọng nhất, còn thứ tự tên tác giả chỉ là thứ yếu.

Và công việc triển khai của Triệu Minh Viễn cùng mọi người cũng vô cùng quan trọng, dù ý tưởng toán học có hay đến đâu, nếu không thể hiện thực hóa một cách hiệu quả, cũng chỉ là nói suông trên giấy. Thái độ ấy khiến mọi người trong phòng thí nghiệm càng thêm cảm động. Trong giới học thuật, chuyện tranh giành nhau tên tuổi trong bài báo quá nhiều rồi, sự thuần khiết của Tiểu Túc càng trở nên quý giá.