Chương 65: Thuận tay chứng minh luôn

Sở Tú gạch ra mấy đường nét ấy trên cuốn sổ, còn vẽ thêm mấy mũi tên bên cạnh, đánh dấu những điểm thắt cổ chai riêng cho từng phương pháp.

Mô hình đại lý: thảm họa chiều, khối lượng tính toán bùng nổ.

Nguyên heuristic: không có đảm bảo lý thuyết, hội tụ chậm.

Từ đầu đến cuối: phụ thuộc dữ liệu huấn luyện, khó chứng minh khái quát hóa.

Anh nhìn chằm chằm vào mấy dòng ấy rất lâu.

Tất cả đều là những ý tưởng hay, và từng phương pháp ấy cũng đã gặt hái được thành tựu trên đường đua riêng của mình.

Nhưng Sở Tú vẫn cứ cảm thấy thiếu vắng điều gì đó.

Cái thiếu ấy chính là sự thấu hiểu cấu trúc vốn có của vấn đề.

Những phương pháp ấy đều đang viết chuyện trên “giải pháp”.

Làm sao tìm kiếm nhanh hơn, lấy mẫu khôn ngoan hơn, khớp nối chính xác hơn.

Nhưng chúng hiếm khi đặt câu hỏi: bài toán tối ưu đang chờ giải ấy, nó vốn dĩ có những thuộc tính nội tại nào?

Có thứ gì bất biến không?

Có đối xứng nào không?

Giống như giải phương trình vi phân, bạn cứ đối mặt cặm cụi tính toán có thể đến tận cùng trời cuối đất.

Nhưng nếu phát hiện ra nó chính là phương trình Euler-Lagrange của một hệ bảo toàn nào đó, lập tức bạn có thể dùng nguyên lý biến phân để đơn giản hóa nó đi hơn nửa.

Bài toán tối ưu cũng vậy.

Sở Tú nhớ lại những gì đã đọc về nhóm Lie và đại số Lie.

Lý thuyết nhóm nghiên cứu về đối xứng, tức những thuộc tính bất biến dưới một sự biến đổi nào đó.

Nếu một hệ thống sở hữu đối xứng, thì nghiệm của nó tất yếu sẽ rơi vào những quỹ đạo nhất định.

Cấu trúc của những quỹ đạo ấy đơn giản hơn nhiều so với toàn bộ không gian.

Dữ liệu ghép nối nhiều chiều trong bối cảnh công nghiệp, liệu có thực sự hoàn toàn ngẫu nhiên không?

Không phải vậy.

Các thông số vận hành thiết bị, nhất định phải có quy luật vật lý nào đó ràng buộc.

Dữ liệu quy trình sản xuất, nhất định phải có chuỗi nhân quả nào đó chi phối.

Ngay cả những thứ ồn ào trông có vẻ hỗn loạn nhất, cũng có thể tồn tại một dạng bất biến thống kê nào đó.

Nếu có thể tìm ra những bất biến ấy, dùng chúng để “phân tầng”, “phân nhánh” không gian nhiều chiều, chia một bài toán lớn thành tổ hợp của nhiều bài toán con ít chiều hơn…

Ngòi bút của Sở Tú dừng lại trên trang giấy.

Đây chính là hướng đi mà anh chưa kịp suy ngẫm kỹ trong phòng họp.

Cấu trúc lá là một khái niệm trong hình học vi phân, mô tả cách phân tách một đa tạp nhiều chiều thành nhiều “lớp lá” ít chiều hơn, mỗi lớp lá bên trong thì trơn tru, giữa các lớp lá thì không giao nhau.

Anh từng áp dụng phương pháp này để giải quyết những điểm khó trong vài đề tài, nhưng chưa bao giờ nghĩ đến việc áp dụng vào vấn đề này.

Nếu có thể kiến tạo nên một cấu trúc như vậy, khiến cho lời giải tối ưu cục bộ của bài toán tối ưu rơi vào những chiếc lá khác nhau, lời giải tối ưu toàn cục rơi vào một chiếc lá đặc biệt nào đó, thì ta có thể tìm lá trước, rồi tìm điểm trên lá. Không gian tìm kiếm đã bị nén lại. Từ toàn bộ không gian đa chiều, bị nén xuống chỉ còn vài đa tạp thấp chiều.

Tiêu Tú viết trên vở một từ: cấu trúc lá. Lại viết thêm một từ khác: tác dụng nhóm Lie.

Nếu có thể định nghĩa một tác dụng nhóm Lie trên miền xác định của hàm mục tiêu, rồi dùng quỹ đạo của tác dụng nhóm để phân lá, thì những điểm cùng quỹ đạo tất nhiên sẽ có một vài tính chất giống nhau. Nếu có thể chứng minh rằng lời giải tối ưu toàn cục nhất định rơi vào một loại quỹ đạo đặc biệt nào đó, thì ta có thể dùng lý thuyết nhóm phân loại các loại quỹ đạo trước, rồi tìm kiếm tinh tế trong vài loại quỹ đạo ít ỏi đó. Về lý thuyết là khả thi.

Nhưng vấn đề cũng nối tiếp nhau kéo đến. Trước hết, cấu trúc của hàm mục tiêu là chưa biết. Nếu là bài toán hộp đen, chỉ biết dữ liệu đầu vào đầu ra, làm sao định nghĩa tác dụng nhóm?

Tiếp theo, ngay cả khi có thể định nghĩa tác dụng nhóm, làm sao đảm bảo sự phân lá quỹ đạo và cấu trúc cực trị của bài toán tối ưu là tương thích? Nếu một chiếc lá vừa có đỉnh cao vừa có đáy thấp, thì phân lá cũng vô ích.

Thứ ba, cũng khó nhất, làm sao định vị được chiếc lá chứa lời giải tối ưu toàn cục? Điều này cần một thứ gọi là “bất biến”, một hàm vô hướng giữ nguyên dưới tác dụng nhóm nhưng có thể chỉ ra vị trí cực trị.

Tiêu Tú viết trên vở ba dấu chấm hỏi, rồi nhìn chằm chằm vào chúng. Tiếng ve ngoài cửa sổ càng lúc càng ồn ào. Máy lạnh trong thư viện thổi mạnh, đầu ngón tay anh lại hơi nóng ran.

Mỗi vấn đề trong số đó đều đủ khiến người ta suy nghĩ rất lâu. Nhưng ít nhất, phương hướng đã có.

Những ngày sau đó, cuộc sống của Tiêu Tú trở nên cực kỳ đơn giản. Sáng bảy giờ rưỡi, từ ký túc xá đi bộ đến thư viện, ngồi vào chiếc bàn cạnh cửa sổ tầng ba, mở sách ra. Trưa đi ăn uống qua loa ở căng tin, rồi quay về tiếp tục. Chiều tối thư viện đóng cửa, về ký túc xá vệ sinh cá nhân, rồi đến phòng làm việc nhỏ của viện toán, tiếp tục ở đó đến tận đêm khuya.

Trên bảng trắng trong phòng làm việc, những dòng chữ từ rải rác trở nên dày đặc, rồi lại bị xóa đi viết lại. Sau đó, anh vẽ một hàm thử nghiệm hai chiều đơn giản. Nó có hai đỉnh lưng, một cao một thấp, lời giải tối ưu toàn cục nằm ở đỉnh thấp.

Anh cố gắng kiến tạo cấu trúc lá theo phương pháp mình tưởng tượng, nhưng thất bại. Sự duy nhất của phân lá không đảm bảo được, cùng một điểm có thể rơi vào những chiếc lá khác nhau, kết quả tối ưu sau đó cũng chạy lung tung.

Sau đó, anh mượn ở thư viện cuốn “Lý thuyết cấu trúc lá của đa tạp Riemann”, lật đến phần sau, nghiên cứu lại chương “Tính chính quy của cấu trúc lá”.

“Để đảm bảo tính duy nhất của cấu trúc lá, cần định nghĩa một phân bố khả tích khắp nơi không suy biến trên đa tạp.”

Tiểu Túc nhìn chằm chằm vào dòng chữ ấy rất lâu, rồi viết thêm một công thức lên bảng trắng. Dùng hằng số cấu trúc đại số Lie để xây dựng phân bố ấy.

Anh mượn cuốn *Hệ động lực dưới tác động của nhóm Lie*, khi đọc đến chương “Phân tích kiểu quỹ đạo” thì dừng lại. Chương ấy viết rằng, nếu tác động của nhóm Lie là trơn mượt, thì các điểm trên đa tạp có thể được phân loại theo lớp liên hợp của nhóm dừng, mỗi lớp ấy tạo thành một đa tạp con trơn mượt. Những đa tạp con ấy chính là “kiểu” của quỹ đạo.

Một ý nghĩ vụt qua trong đầu Tiểu Túc.

Nhóm dừng—những phần tử nhóm cố định một điểm nào đó. Những điểm khác nhau có thể có kiểu nhóm dừng khác nhau. Nếu có thể chứng minh rằng nhóm dừng của nghiệm tối ưu toàn cục có kiểu duy nhất, hoặc ít nhất là hiếm gặp, thì có thể đảo ngược lại: tìm trước mọi kiểu nhóm dừng có thể có, rồi chỉ tìm kiếm trong những kiểu ấy những nơi có thể chứa nghiệm tối ưu toàn cục.

Ý tưởng ấy tinh tế hơn cái “bất biến” mà anh từng nghĩ trước đây. Bất biến là hàm vô hướng, quá thô sơ. Kiểu nhóm dừng là cấu trúc đại số, chứa đựng nhiều thông tin hơn hẳn.

Anh lập tức ghi lại suy nghĩ ấy vào sổ tay, rồi bắt đầu suy luận.

Sau đó, anh dành cả buổi sáng để kiểm chứng tính khả thi của ý tưởng ấy trên những ví dụ đơn giản. Anh dựng trước vài hàm thử thấp chiều, mỗi hàm định nghĩa một tác động nhóm Lie đơn giản—nhóm quay hoặc nhóm tịnh tiến. Rồi anh tính nhóm dừng trên mỗi điểm, phân loại, rồi đối chiếu sự phân loại ấy với sự phân bố điểm cực trị của hàm.

Kết quả còn tốt hơn anh tưởng.

Trên hàm đối xứng quay, những điểm tối ưu toàn cục chính là những điểm có nhóm dừng lớn nhất—tức những điểm có tính đối xứng quay cao nhất. Trên hàm đối xứng tịnh tiến, những điểm tối ưu toàn cục rơi vào quỹ đạo có nhóm dừng tầm thường—tức những điểm không có đối xứng nào.

Hai thái cực, nhưng đều có quy luật.

Tiểu Túc dựa lưng vào ghế, nhìn những suy luận dày đặc trên bảng trắng, thở dài một hơi.

Khả thi. Ít nhất trên những ví dụ đơn giản, nó khả thi.

Việc tiếp theo là mở rộng phương pháp ấy ra trường hợp tổng quát. Phải chứng minh sự tồn tại, đưa ra thuật toán xây dựng, phân tích độ phức tạp tính toán, kiểm chứng hiệu năng trên hệ phi tuyến nhiều chiều…

Còn nhiều việc lắm.

Nhưng cửa ải khó nhất đã qua.

Tiểu Túc đứng dậy, vặn vẹo đôi vai cứng đờ.

Mấy ngày sau, Tiểu Túc cứ theo hướng ấy mà suy nghĩ không ngừng, cuối cùng trong một ngày mưa, anh hoàn thành bài luận cuối cùng.

Anh dựa lưng vào ghế, nhìn chằm chằm vào tài liệu ba mươi bảy trang trên màn hình, ngẩn người ra vài giây.

Thư viện tỏa ra luồng khí lạnh không ngừng, mưa lớn ngoài cửa sổ đập vào tường kính, hiện lên một bầu không khí nặng nề u ám. Điện thoại rung lên một cái. Đó là tin nhắn của Cố Thanh Trầm.

"Xong chưa? Tớ đang ở cửa thư viện."

Tiêu Túc trả lời "Ừ", tắt máy tính, cầm ô ra ngoài.

Ở cửa tòa nhà, Cố Thanh Trầm đang đứng đó, tay chống ô, trong tay xách hai bình giữ nhiệt, bên trong đựng trà táo đỏ long nhãn.

"Đi, đến văn phòng tớ nói chuyện."

Anh đưa cho Tiêu Túc một bình, "Mấy hôm nay cậu lại thức khuya à? Lưu Hạo Nhiên nói với tớ, tối hôm qua mười hai giờ cậu ấy đi ngang phòng cậu, thấy đèn trong phòng cậu vẫn sáng."

Tiêu Túc nhận bình giữ nhiệt, không trả lời.

Cố Thanh Trầm nhận ra anh đang giả vờ không biết, lắc đầu bất lực, dẫn người đi về phía văn phòng.

Hai người xuyên qua màn mưa, đế giày bắn lên những giọt nước.

Lúc lên cầu thang, Cố Thanh Trầm lại hỏi: "Tiêu đề cậu nghĩ ra chưa?"

"Nghĩ ra rồi."

Tiêu Túc nói.

"Gọi là gì?"

"Dựa trên phương pháp phân loại quỹ đạo nhóm Lie để tối ưu hóa toàn cục phi tuyến tính đa chiều."

Cố Thanh Trầm gật đầu, đẩy cửa phòng làm việc.

Bên trong phòng vẫn bật đèn, giá sách chất đầy sách, trên bàn bày vài cuốn tạp chí mở dở.

Cố Thanh Trầm đặt bình giữ nhiệt xuống, kéo một chiếc ghế ngồi xuống, vỗ vào chỗ ngồi bên cạnh: "Lại đây, để tớ xem."

Tiêu Túc mở máy tính, xoay màn hình về phía anh.

Phòng làm việc trở nên im lặng, chỉ còn nghe thấy tiếng mưa tí tách ngoài cửa sổ.

Cố Thanh Trầm đọc từng dòng xuống dưới, thỉnh thoảng lướt chuột, thỉnh thoảng dừng lại nhìn chằm chằm vào một đoạn.

Tiêu Túc dựa vào cửa sổ uống trà, ánh mắt rơi vào màn mưa ngoài cửa sổ.

Khoảng hai mươi phút sau, Cố Thanh Trầm ngẩng đầu lên, vẻ mặt có chút phức tạp.

"Cậu... cậu không chỉ giải quyết được một vấn đề."

Anh ngập ngừng, như đang sắp xếp lời nói.

Tiêu Túc không nói gì.

Cố Thanh Trầm lại cúi đầu xuống, lật vài trang, đọc vài dòng, rồi lại lật ngược lại.

Lặp đi lặp lại mấy lần như vậy, cuối cùng anh đặt chuột xuống, dựa vào lưng ghế, thở dài.

"Cậu có nhớ giả thuyết Erdős không?"

Tiêu Túc gật đầu.

Erdős là giáo sư của Đại học Princeton, tuyệt đối là chuyên gia hàng đầu trong lĩnh vực phân tích phi tuyến tính quốc tế.

Anh ấy đã đưa ra một giả thuyết về sự tồn tại của nghiệm tối ưu toàn cục cho các hàm phi lồi đa chiều cách đây hai mươi năm, nhưng vẫn chưa thể chứng minh được. Nếu giả thuyết ấy được chứng minh, nền tảng lý thuyết của tối ưu hóa toàn cục sẽ tiến thêm một bước dài.

Cố Thanh Trần chỉ vào màn hình máy tính: "Cậu vừa chứng minh được nó luôn."

Tiêu Túc chỉ "ừ" một tiếng.

"Chỉ có mỗi 'ừ' thôi à?" Cố Thanh Trần cười. "Nếu ông già Erdős nhìn thấy bài luận văn này, chắc hẳn ông ấy sẽ mất ngủ mất."

Tiêu Túc suy nghĩ một lát: "Vậy thì tôi sẽ thêm lời cảm ơn."

Cố Thanh Trần nghe xong suýt nghẹn lời, ngẩn người hai giây rồi bật cười.

"Thôi được rồi, cậu giỏi thật đấy."

Anh đứng dậy, bước đến bên cửa sổ nhìn cơn mưa ngoài trời, đột nhiên hỏi: "Cậu đã quyết định gửi bài đến tạp chí nào chưa?"

Tiêu Túc đáp: "Tạp chí *Sáng tạo Toán học*."

Bài luận văn trước của Tiêu Túc về tính toán trọng số của metric gần điểm kỳ dị hyperbol hữu tỉ cũng đã được đăng trên tạp chí này.

Cố Thanh Trần gật đầu, không hỏi thêm gì nữa.

Anh đã hiểu Tiêu Túc đủ rồi.

Anh không phải kiểu người cần người khác khuyến khích hay góp ý. Mỗi quyết định anh đưa ra đều là điều anh đã suy nghĩ kỹ lưỡng.

Hỏi thêm chỉ là vô nghĩa.

Mưa nhỏ dần, chuyển thành những sợi mưa mảnh mai.

Cố Thanh Trần nhìn chằm chằm vào anh: "Vậy thì gửi đi."

Tiêu Túc gật đầu, chỉ "ừ" một tiếng.