Chương 53: Cảm hứng

Loại thời khắc này Lưu Hạo Nhiên đã chứng kiến không biết bao lần rồi. Cái sự ngoan cường của những nhà toán học khi đối mặt với bài toán khó, cái khí thế không giải quyết xong thì không chịu buông xuôi ấy.

Anh không thuyết phục nữa, chỉ châm nóng một cốc sữa rồi đặt lên bàn của Tiêu Tú.

Đúng một giờ sáng, Tiêu Tú đột nhiên buông phấn, bước đến bên cửa sổ.

Bên ngoài là khuôn viên trường vắng lặng, chỉ còn ngọn đèn đường cô đơn le lói.

Anh nhìn chằm chằm vào một điểm trong bóng tối, ánh mắt trống rỗng, như thể đang ngắm nhìn nơi xa xăm.

Lưu Hạo Nhiên biết, đây là lúc Tiêu Tú đang "thả lỏng tâm trí".

Khi tư duy rơi vào ngõ cụt, anh ấy sẽ tạm thời thoát khỏi thế giới toán học, để tiềm thức tự mình vận hành.

Thời gian trôi qua từng giây từng phút.

Tiếng tích tắc của chiếc đồng hồ trong phòng trở nên rõ ràng lạ thường.

Hai giờ mười bảy phút sáng, Tiêu Tú đột nhiên quay người lại, đôi mắt lóe lên ánh sáng.

"Tôi hiểu rồi."

"Hiểu cái gì?"

"Chúng ta đã suy nghĩ sai lầm từ trước đến nay."

Tiêu Tú quay về phía bảng trắng, giọng nói nhanh và rõ ràng.

"Các phương pháp giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên hiện có đều dựa trên tư tưởng 'lấy thời gian rời rạc, tiến từng bước một'. Nhưng trên đa tạp, tư tưởng ấy vốn dĩ đã bị giới hạn, bởi mỗi bước tiến đều phải đảm bảo không rời khỏi đa tạp."

Anh lau sạch một nửa nội dung trên bảng trắng, bắt đầu viết lại:

"Tư tưởng đúng đắn nên là: không phải rời rạc hóa thời gian, mà rời rạc hóa không gian đường đi."

"Gì cơ?"

Lưu Hạo Nhiên không hiểu.

"Xét tất cả không gian đường đi từ điểm xuất phát đến điểm đích, cái ấy gọi là không gian đường đi."

Tiêu Tú vừa viết vừa giải thích, "Trên đa tạp, không gian đường đi vốn dĩ cũng là một đa tạp vô hạn chiều. Cái mà chúng ta cần tìm, chính là một điểm trên đa tạp vô hạn chiều ấy."

Anh vẽ hai sơ đồ minh họa trên bảng trắng.

Bức thứ nhất là tư tưởng truyền thống, một đường cong bị cắt thành nhiều đoạn nhỏ, mỗi đoạn xấp xỉ bằng đoạn thẳng.

Bức thứ hai là tư tưởng mới do anh đề xuất, một không gian, bên trong có rất nhiều đường cong, trong đó có một đường được đánh dấu đặc biệt.

"Phương pháp truyền thống là xấp xỉ đường cong ấy," Tiêu Tú chỉ vào bức tranh đầu tiên, "còn ý tưởng của tôi là trực tiếp tìm kiếm đường cong ấy trong không gian đường đi."

Anh tiếp tục viết công thức, động tác trôi chảy như thể đã luyện tập vô số lần:

"Phiếm hàm S[γ]=∫L(γ,γ')dt trên không gian đường đi M, trong đó L là Lagrangian. Chúng ta cần tìm đường đi làm cho S đạt cực trị, đây chính là nguyên lý biến phân."

"Nhưng không gian đường đi là vô hạn chiều, làm sao tìm kiếm được?"

Lưu Hạo Nhiên đặt ra vấn đề then chốt.

"Dùng phương pháp Monte Carlo."

Tiêu Tú đáp, "Nhưng không phải Monte Carlo truyền thống, mà là Monte Carlo trên không gian đường đi, tức là Monte Carlo tích phân đường."

Anh ấy viết lên bảng trắng một loạt công thức mới: “Hãy xây dựng một chuỗi Markov, không gian trạng thái là M, phân bố dừng là exp(-βS[γ])/Z. Khi β→∞, phân bố này sẽ tập trung quanh điểm cực tiểu của S. Bằng cách mô phỏng chuỗi Markov này, chúng ta có thể tìm ra đường đi tối ưu với xác suất cao.” Lưu Hạo Nhiên nhìn chằm chằm vào những công thức ấy, trong đầu ù ù vang lên.

Ý tưởng này thật táo bạo biết bao—mang phương pháp tích phân đường trong cơ học lượng tử vào giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên. Nhưng càng nghĩ kĩ, nó lại càng trở nên tự nhiên một cách kỳ lạ.

Tích phân đường vốn là vũ khí lợi hại để xử lý những vấn đề trong không gian vô hạn chiều, còn nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên chính là một đường đi.

“Cái này… liệu có thực hiện được không?” Giọng anh rung lên.

“Có.” Tiêu Tú khẳng định, “Chỉ cần thiết kế được phân bố đề xuất và xác suất chấp nhận phù hợp, đảm bảo chuỗi Markov chuyển dịch trên đa tạp. Có nhiều chi tiết kỹ thuật, nhưng về nguyên tắc thì không có trở ngại gì.”

Anh bắt đầu suy luận chi tiết.

Những công thức trên bảng trắng tuôn trào như suối nguồn, nối tiếp nhau, logic chặt chẽ, móc nối không rời.

Lưu Hạo Nhiên nhìn theo, cảm thấy mình không chỉ chứng kiến sự ra đời của một ý tưởng, mà còn chứng kiến sự hoàn thành của một tòa kiến trúc toán học—từ nền móng đến khung sườn, từ cấu trúc đến trang trí, mỗi phần đều chính xác và tinh tế.

Bốn giờ sáng, suy luận hoàn tất.

Tiêu Tú bỏ phấn xuống, lùi lại một bước, ngắm nhìn toàn bộ bảng trắng.

Từ trái sang phải, từ trên xuống dưới, từ việc đặt vấn đề đến thiết kế thuật toán cuối cùng—hoàn chỉnh và nhất quán.

Những trở ngại từng khiến anh bối rối suốt hai tuần nay, giờ đây đều biến thành những bậc thang dẫn đến đích.

Anh thở dài, nhắm mắt lại.

Lưu Hạo Nhiên có thể nhìn thấy sự mệt mỏi trên khuôn mặt anh, nhưng rõ ràng hơn cả là niềm thỏa mãn thuần khiết, không pha tạp, sau khi giải quyết được vấn đề.

“Xong rồi à?” Lưu Hạo Nhiên hỏi khẽ.

“Xong rồi.” Tiêu Tú mở mắt, ánh nhìn trong trẻo, “Khung lý thuyết đã hoàn chỉnh. Những việc còn lại chỉ là thực hiện và kiểm thử.”

Bên ngoài cửa sổ, trời đã bắt đầu hửng sáng.

Một ngày mới sắp bắt đầu.