Chương 30: Sự ra đời của công cụ mới

Thứ ba buổi sáng, Viện nghiên cứu Toán học Kyoto.

Hành lang im lặng đến lạ, chỉ thỉnh thoảng vang lên tiếng cửa đóng mở cùng những bước chân.

Cố Thanh Sâm ngồi trước bàn làm việc, ánh mắt cứ đăm đăm nhìn xuống bản thảo luận văn trước mặt.

Đó là bức thư điện tử Tiểu Túc gửi tối hôm qua, thời gian gửi hiển thị là năm giờ rưỡi sáng. Ông không ngờ đứa trẻ ấy dậy sớm đến thế, nhưng khi nhìn thấy tiêu đề luận văn mới nhận ra, chắc đứa trẻ ấy đã thức trắng đêm viết bài.

Lúc đầu, ông lắc đầu không đồng tình, đối với những người nghiên cứu toán, khi cảm hứng đến thường thức khuya suy nghĩ là chuyện bình thường, nhưng Tiểu Túc còn trẻ, không nên phí phạm sức khỏe như vậy.

Ông vừa định nghĩ phải tìm lúc nào đó nói chuyện nghiêm túc với đứa trẻ ấy, thì ánh mắt ông chìm đắm vào những suy luận chặt chẽ và cấu trúc tinh tế kia, mọi cảm xúc vụn vặt bỗng tan biến mất.

Ông nhìn đến hai tiếng đồng hồ.

Ông đặt bản thảo xuống, tháo kính ra, xoa trán.

Phòng làm việc im lặng đến mức nghe rõ tiếng kim đồng hồ treo tường chạy.

Cố Thanh Sâm dựa vào lưng ghế, ánh mắt lại quay về phía bản thảo, dừng lại ở tiêu đề:

“Khám phá phương pháp hiệu chỉnh sai số điểm hữu tỉ dựa trên cấu trúc không gian hoàn hảo và trọng số đo lường.”

Đó không phải là tiêu đề hoa mỹ, rất đơn giản và trực tiếp, giống như con người Tiểu Túc vậy.

Nhưng nội dung…

Cố Thanh Sâm hít sâu một hơi.

Phải thừa nhận rằng, một công cụ toán học hoàn toàn mới đã ra đời.

Được tạo ra bởi đôi bàn tay của một đứa trẻ mới mười lăm tuổi, vừa mới bắt đầu học toán có hơn ba tháng.

Ý tưởng cốt lõi của bài luận văn này thực ra có thể giải thích bằng một phép so sánh đơn giản.

Bây giờ, hãy tưởng tượng bạn phải chuyển một đống đá từ bờ sông bên kia sang, nhưng mỗi lần vận chuyển đều bị rơi mất mảnh vụn.

Cách truyền thống là cố gắng vận chuyển thật cẩn thận, nhưng dù thế nào đi nữa, mảnh vụn vẫn rơi.

Còn phương pháp của Tiểu Túc là, đầu tiên dán lên mỗi tảng đá một “nhãn trọng lượng”, sau đó thiết kế một kế hoạch vận chuyển có thể tự điều chỉnh.

Những tảng đá nặng vận chuyển ít lần, những tảng đá nhẹ vận chuyển nhiều lần, cuối cùng tổng lượng đá vụn bị rơi sẽ giảm thiểu tối đa.

Và khi áp dụng vào không gian hoàn hảo - đối tượng toán học trừu tượng bậc cao này, “nhãn trọng lượng” ấy trở thành hàm trọng số được cấu trúc tinh tế, “kế hoạch tự điều chỉnh” chính là lý thuyết tương thích dựa trên đối đồng điều tầng.

Điều tuyệt vời nhất nằm ở chương ba, ở cấu trúc ấy. Tiểu Túc không trực tiếp định nghĩa hàm trọng số nên trông như thế nào, mà ông ấy chứng minh rằng trong cấu trúc phân cấp của không gian hoàn hảo, hàm trọng số ấy “phải” tồn tại, giống như tổng ba góc trong tam giác phải bằng 180 độ vậy.

Đó là điều do chính cấu trúc quyết định.

Sự nhảy vọt trong tư duy ấy khiến Cố Thanh Sâm nhớ đến những công trình mang tính khai phá trong lịch sử toán học.

Đầu thế kỷ mười chín, Fourier khi nghiên cứu phương trình truyền nhiệt, đã phân tích bất kỳ hàm số nào thành tổng của chuỗi lượng giác.

Lúc đó, rất nhiều nhà toán học cho rằng điều đó không chặt chẽ, làm sao bạn có thể đảm bảo bất kỳ hàm số nào cũng phân tích được như vậy?

Nhưng Fourier dựa vào trực giác vật lý mà làm vậy, kết quả là đã khai sinh ra lĩnh vực phân tích Fourier rộng lớn.

Ngày nay, xử lý tín hiệu, nén ảnh, cơ học lượng tử… tất thảy đều không thể thiếu nó.

Còn có phương pháp khử Gauss nữa, thoạt nhìn chỉ là một loạt các bước giải hệ phương trình tuyến tính, nhưng sau khi Gauss hệ thống hóa, hình thức hóa, nó đã trở thành một trong những nền tảng của toàn bộ đại số tuyến tính. Phép tính vi tích của Newton và Leibniz còn chẳng cần phải nói nữa, nếu không có hệ thống ký hiệu và những định lý cơ bản ấy, khoa học hiện đại chẳng thể nào khởi đầu được. Những công cụ ấy khi vừa được sáng tạo ra, chính những người tạo ra chúng có lẽ cũng chẳng nghĩ rằng chúng sẽ được ứng dụng rộng rãi đến vậy. Họ chỉ muốn giải quyết vấn đề trước mắt mà thôi. Những gì Hiệu Túc đang làm, dường như cũng là loại công việc tương tự vậy.

Cầm ngón tay lướt nhẹ trên trang luận văn, Cố Thanh Sâm nhìn thấy những định nghĩa chặt chẽ, những bổ đề nối tiếp nhau không rời, những chứng minh gọn gàng sắc bén… Đây nơi nào giống là thứ có thể được một thiếu niên mười lăm tuổi viết vội trong một đêm? Đây rõ ràng là tác phẩm đã được suy nghĩ sâu sắc, mài giũa nhiều lần, trưởng thành. Không, thậm chí không thể dùng từ “trưởng thành” để miêu tả. Đó là một loại… trực giác. Là khả năng nhìn thấu bản chất vấn đề, rồi từ góc nhìn tự nhiên nhất mà đưa ra lời giải.

Cố Thanh Sâm chợt nhớ đến cố giáo sư Cốc Siêu Hào. Lúc về già, giáo sư từng nói chuyện phiếm với ông:

“Thanh Sâm à, khi làm toán đến mức thâm sâu, ngươi sẽ thấy những khó khăn về kỹ thuật đều có thể vượt qua, khó nhất chính là ‘nhìn thấy’, nhìn thấy điểm mấu chốt của vấn đề ở đâu, nhìn thấy cách tiếp cận ra sao, nhìn thấy con đường tiềm ẩn ấy.”

Lúc ấy, Cố Thanh Sâm nghe mà cứ cảm thấy nửa hiểu nửa không. Giờ nhìn luận văn của Hiệu Túc, ông dường như đã hiểu phần nào.

Đứa trẻ này vốn đã “nhìn thấy” được rồi.

Cánh cửa phòng làm việc khẽ gõ hai tiếng.

“Mời vào.”

Cố Thanh Sâm nói.

Hiệu Túc đẩy cửa bước vào. Cậu trông có vẻ đã nghỉ ngơi khá, quầng thâm dưới mắt đã nhạt bớt, đôi mắt vẫn sáng lấp lánh.

“Chú Thanh ạ.” Hiệu Túc ngồi xuống đối diện.

Cố Thanh Sâm nhìn cậu, một lúc lâu ông không biết nên mở lời thế nào.

Sau khi ngẫm nghĩ vài giây, ông mới cầm lấy tập luận văn ấy:

“Hiệu Túc, chú đã đọc kỹ luận văn này hai lần.”

Hiệu Túc gật đầu, chờ đợi điều tiếp theo.

“Chú muốn hỏi cháu một câu.” Cố Thanh Sâm hơi nghiêng người về phía trước.

“Khi cháu xây dựng khung độ đo có trọng số ấy, cháu đã nghĩ ra cách dùng đối đồng điều trên tầng để chứng minh sự tồn tại của hàm trọng số ấy như thế nào? Sao không trực tiếp xây dựng tường minh?”

“Bởi vì trực tiếp xây dựng thì quá phiền phức. Muốn viết ra dạng hàm cụ thể, phải xử lý vô số điều kiện tương thích giữa các tầng bậc, dễ sa lầy vào chi tiết kỹ thuật. Nhưng nếu ta đổi góc nhìn, coi hàm trọng số như ‘thuộc tính nội tại’ của đối tượng hình học trong không gian hoàn hảo, thì sự tồn tại của nó phải do cấu trúc hình học của đối tượng đảm bảo. Đồng điều thượng chính là ngôn ngữ mô tả cấu trúc hình học ấy.”

Anh nói tự nhiên, như thể đang nói “nước chảy chỗ trũng” vậy, hiển nhiên đến mức khiến người nghe không thể nghi ngờ.

Cố Thanh Sâm thở dài, đó chính là tư duy toán học sáng tạo. Không đi theo con đường đã được người khác mở sẵn, mà tự mình chặt ra một lối mới. Và lối ấy lại tự nhiên đến nỗi khiến người ta phải ngờ, sao trước giờ không ai nghĩ đến.

“Cậu biết không, Tiêu Tú,” Cố Thanh Sâm từ từ mở lời, từng chữ đều nặng trịch, “bộ khung lý thuyết cậu đưa ra trong bài luận này, không chỉ đơn thuần giải quyết vấn đề sai số tích lũy của giáo sư Lạp Căn đâu.”

Tiêu Tú chớp mắt, như đang chờ Cố Thanh Sâm giải thích tiếp.

“Cậu đã sáng tạo ra một công cụ mới.”

Cố Thanh Sâm chỉ vào phần định lý trọng tâm của bài luận, “Phương pháp ‘đo lường trọng số tự thích ứng dựa trên cấu trúc tầng bậc’ này, chỉ cần điều chỉnh đôi chút, có thể ứng dụng vào bất kỳ bài toán toán học nào liên quan đến quá trình giới hạn, cần kiểm soát sai số tích lũy.”

Anh đứng dậy, bước đến bảng trắng, nhanh chóng viết một công thức.

“Chẳng hạn trong giải số phương trình vi phân riêng phần, khi ta rời rạc hóa bằng phương pháp phần tử hữu hạn, quá trình tinh lưới cũng sẽ sinh ra sai số tích lũy tương tự. Tư tưởng phân bổ trọng số của cậu hoàn toàn có thể dùng để điều chỉnh thích ứng mật độ tinh lưới ở các vùng khác nhau, khiến sai số tổng thể đạt mức tối thiểu.”

Anh viết thêm một ví dụ khác.

“Hoặc như trong phân tích thống kê dữ liệu lớn, khi ta suy luận tính chất tổng thể từ dữ liệu mẫu, phân bổ trọng số cho các mẫu khác nhau cũng là một vấn đề kinh điển. Bộ khung của cậu cung cấp một cách suy nghĩ xác định trọng số dựa trên chính cấu trúc dữ liệu, chứ không phụ thuộc vào kinh nghiệm hay giả định.”

Cố Thanh Sâm đặt bút xuống, quay lại nhìn Tiêu Tú.

“Cậu hiểu ý tôi chứ? Cậu không phát minh ra một chiếc tua vít loại đặc biệt, mà là cả một bộ dụng cụ cờ lê có thể điều chỉnh. Chỉ cần thay đầu, có thể vặn đủ loại ốc.”