Quyển 1 · Chương 23: Trực giác không thể truyền dạy

Nhìn theo bóng dáng vội vã rời đi của Lưu Hạo Nhiên, Tiêu Túc lại tập trung trở lại vào cuốn *Thuyết Lượng Tử Trường và Tích Phân Đường*. Nhưng sau khi đọc được vài trang, đột nhiên anh nhớ ra điều gì đó, liền mở trình duyệt lên, tìm kiếm "bài báo của Robert Green".

Ngay lập tức, trang giáo sư khoa Toán của Đại học New York hiện ra, liệt kê những công trình nghiên cứu chủ yếu của giáo sư Green trong những năm gần đây. Tiêu Túc nhanh chóng lướt qua những tiêu đề và phần tóm tắt, ngón tay lướt nhẹ trên bàn di chuột.

*Giới hạn hữu hiệu về sự phân bố điểm hữu tỉ trên đa tạp đại số chiều cao*

*Tính chất số học của đường cong môđun và đa tạp Áp-đen*

*p-đánh giá Hodge và ứng dụng*

...

Ánh mắt Tiêu Túc dừng lại trên tiêu đề cuối cùng.

*p-đánh giá Hodge*, chẳng phải đó chính là hướng nghiên cứu mà Peter Scholze đã đề cập trong lý thuyết "perfectoid spaces" của ông ấy sao?

Anh nhớ trước đây đã từng đọc bài báo nền tảng năm 2011 của Scholze, *p-adic Hodge Theory for Rigid-analytic Spaces and Perfectoid Spaces*. Bài viết ấy anh đã mất gần một tuần để hoàn toàn lĩnh hội, những tư tưởng trong đó vô cùng sâu sắc, khi sử dụng công cụ hình học p-đánh giá để tái kiến tạo lại lý thuyết Hodge cổ điển.

Nếu nghiên cứu của giáo sư Green cũng liên quan đến hướng này, thì buổi giảng chắc chắn sẽ rất thú vị.

Tiêu Túc nhấp vào một bài báo tiền in ấn mới nhất của giáo sư Green, bắt đầu đọc nhanh.

Tốc độ đọc của anh cực kỳ nhanh.

Khoảng hai mươi phút sau, Tiêu Túc đã nắm bắt được phong cách nghiên cứu và phương pháp kỹ thuật chủ yếu của giáo sư Green.

Nghiên cứu hình học số học vững chắc, thiên về phương pháp cổ điển, nhưng cũng có thể nhìn thấy bóng dáng của một số tư tưởng hình học p-đánh giá hiện đại.

Ngay lúc ấy, điện thoại anh lại rung lên một tiếng.

Lần này là tin nhắn của Trần Lâm.

"Tiêu ca!! Cứu với!"

Phía sau là một loạt biểu tượng sụp đổ.

Tiêu Túc trả lời: "?"

Trần Lâm lập tức hồi âm: "Đề thi giữa kỳ môn Giải tích vừa phát xuống, em làm câu cuối chứng minh sai, bị trừ 15 điểm! Thầy Chu nói cách giải của em giống kỹ thuật em kể tuần trước, nhưng em chẳng hiểu gì cả... Anh rảnh không? Chỉ giáo em với!"

Tiêu Túc nhìn đồng hồ, bốn giờ mười phút chiều.

Anh trả lời: "Thư viện khu Đông tầng bốn, đến đây đi."

Năm phút sau, Trần Lâm ôm một xấp giấy nháp và đề thi, mặt mày thảm thương xuất hiện trước mặt Tiêu Túc.

"Tiêu ca, anh xem đề này."

Cậu đẩy đề thi về phía anh, chỉ vào câu cuối cùng.

"Chứng minh: Nếu hàm f liên tục trên [0,1], khả vi trong (0,1), và f(0)=f(1)=0, thì tồn tại ξ∈(0,1) sao cho f'(ξ)=f(ξ)."

Tiêu Túc liếc qua đề bài, gật đầu.

"Ừ, dùng dạng mở rộng của 'Định lý giá trị trung bình' mà em từng hỏi anh trước đây."

“Đúng rồi! Lúc đó cậu nói là xây dựng hàm phụ F(x)=e^{-x}f(x), rồi áp dụng Định lý Rolle. Nhưng khi thi, đầu óc tớ quay cuồng, lại xây dựng nhầm thành F(x)=f(x)e^{x}, thế là toàn sai hết…”

Trần Lâm muốn khóc nhưng không thể.

Tiêu Tú cầm lấy tờ giấy nháp, viết ra một quá trình chứng minh ngắn gọn.

“Giả sử F(x)=e^{-x}f(x). Khi đó F liên tục trên [0,1], khả vi trong (0,1), đồng thời F(0)=f(0)=0, F(1)=e^{-1}f(1)=0. Theo Định lý Rolle, tồn tại ξ∈(0,1) sao cho F'(ξ)=0.”

“Mà F'(x)=e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}[f'(x)-f(x)]. Do đó F'(ξ)=e^{-ξ}[f'(ξ)-f(ξ)]=0. Vì e^{-ξ}≠0 nên f'(ξ)-f(ξ)=0, tức f'(ξ)=f(ξ). Chứng minh xong.”

Trần Lâm nhìn chằm chằm vào mấy dòng chữ ấy, biểu cảm từ bối rối chuyển sang ngộ ra rồi cuối cùng là hối hận.

“Chỉ đơn giản vậy thôi?! Tại sao lúc thi tớ lại không nghĩ ra cách dùng e^{-x} chứ…”

“Bởi vì cậu bị mê hoặc bởi hình thức.”

Tiêu Tú bình thản nói.

“Bản chất của bài toán này là phải xây dựng một hàm sao cho đạo hàm của nó có thể sinh ra cấu trúc f'(x)-f(x). Đạo hàm của e^{-x} là -e^{-x}, nên khi nhân vào, đạo hàm của tích sẽ xuất hiện hạng mục f'(x)-f(x). Đây là kỹ thuật tiêu chuẩn.”

Trần Lâm gãi đầu:

“Lý do tớ hiểu hết, nhưng lúc thi cứ không thể phản ứng kịp. Tiêu ca, khả năng nhìn thấu bản chất vấn đề của cậu rốt cuộc luyện thế nào vậy?”

Tiêu Tú im lặng vài giây, như thể đang suy nghĩ cách trả lời.

Cuối cùng anh nói:

“Hãy suy nghĩ nhiều về ‘tại sao’, ít ghi nhớ ‘làm thế nào’. Mỗi kỹ thuật đều có lý do hình học hoặc đại số đằng sau nó. Chẳng hạn như e^{-x} này, nó là hàm mũ, chính tính tự tương tự trong đạo hàm của hàm mũ đã khiến cho cách xây dựng này khả thi. Nếu hiểu rõ điểm này, lần sau gặp vấn đề tương tự sẽ tự nhiên nghĩ ra.”

Trần Lâm gật gù, vẻ mặt nửa hiểu nửa không, rồi cẩn thận chép lại quá trình chứng minh Tiêu Tú viết vào sổ tay.

Sau khi chép xong, anh đột nhiên hạ thấp giọng, hỏi một cách bí hiểm:

“Tiêu ca, tớ nghe nói… bài báo của cậu nộp cho JAMS, đã có tin tức gì chưa?”

Tiêu Tú lắc đầu:

“Vẫn chưa. Chu kỳ phản biện thường rất dài.”

“Thế à…” Trần Lâm hơi thất vọng, nhưng ngay lập tức lại hứng khởi, “Thế còn bài trên tạp chí *Toán học Phát minh* ấy? Tớ nghe nói Lưu sư huynh dạo này đi đứng như gió, chắc sắp đăng rồi?”

“Đang sửa chữa, nếu thuận lợi thì tháng sau.”

“Ghê thật!”

Trần Lâm giơ ngón tay cái lên, nhưng ngay sau đó lại thở dài:

“Cùng là học toán mà, sao khoảng cách lại lớn thế nhỉ… Tớ bây giờ còn đang vật lộn với bài thi giữa kỳ môn Giải tích, cậu đã ngấp nghé hai bài báo đăng trên tạp chí đỉnh. Có lúc tớ còn nghi ngờ, liệu chúng ta có phải cùng một loài không.”

Tiêu Tú không đáp lời.

Anh không giỏi đối phó với những cảm xúc ngưỡng mộ hay ngưỡng mộ ấy, chúng khiến anh cảm thấy không thoải mái.

Trần Lâm cũng nhận ra, vội chuyển chủ đề.

“À, tuần sau khoa mình có buổi giao lưu dành cho tân sinh viên, cậu có đi không? Chỉ là tụ tập nói chuyện, làm quen thôi. Lão Chu bắt tớ nhất định phải kéo cậu đi, bảo cậu là ‘bộ mặt’ của khoa chúng ta.”

Tiêu Tú định từ chối, anh không có hứng thú với những hoạt động xã hội kiểu này.

Nhưng vừa định mở miệng, anh lại nhớ đến câu nói của Cố Thanh Sâm “hãy tiếp xúc nhiều hơn với những người cùng tuổi”, nên đổi lời:

“Khi nào?”

Chén Lín chợt nhớ ra điều gì, “Thứ Tư chiều nay không phải có buổi giảng nào sao? Giáo sư từ Đại học New York đến ấy nhỉ?”

“Ừ, buổi giảng của giáo sư Green, lúc ba giờ.”

“Thế thì vừa khớp! Buổi giảng xong khoảng năm giờ, ăn tối xong, bảy giờ hội thảo bắt đầu.”

Chén Lín mắt sáng lên, “Thế là quyết định rồi! Cậu nhất định phải đến đấy nhé, không thì lão Chu lại cằn nhằn tôi xử lý chậm chạp.”

“… Được.”

Xiāo Sù đáp lời.

Một buổi giảng cộng thêm một buổi hội thảo, chắc sẽ không chiếm quá nhiều thời gian.

Chén Lín hài lòng lắm, ôm tập ghi chép bước đi.

Xiāo Sù lại cầm quyển *Lý thuyết trường lượng tử và tích phân đường* lên, nhưng đọc vài trang rồi tâm trí lại phiêu diêu đâu đó.

Anh nhớ đến một chi tiết trong bản in trước của giáo sư Green, khi bàn về sự phân bố của các điểm hữu tỉ trên đường cong đại số nhiều chiều ở không gian nhiều chiều, giáo sư Green đã dùng một phương pháp ước lượng dựa trên lý thuyết dạng mô hình cổ điển, tuy có hiệu quả nhưng Xiāo Sù luôn cảm thấy nó hơi “cồng kềnh”.

Nếu đem tư tưởng về *perfectoid spaces* vào thì sao?

Dùng công cụ hình học p-adic để xem xét lại sự phân bố của những điểm hữu tỉ ấy, liệu có thu được kết quả tinh tế hơn, sâu sắc hơn?

Ý nghĩ ấy vừa nảy sinh, như hạt giống rơi xuống mảnh đất màu mỡ, bắt đầu bén rễ nảy mầm nhanh chóng.

Xiāo Sù tiện tay vớ lấy một tờ giấy nháp, bắt đầu viết vẽ lung tung.

“Giả sử X là một đường cong đại số nhiều chiều định nghĩa trên trường số K, xét cấu trúc hình học của nó trong không gian hoàn chỉnh…”

Anh viết rất nhanh, như thể đột nhiên thông suốt hết mạch lạc, tư duy tuôn trào như suối nguồn.

Những trực giác hình học hình thành khi đọc bài luận của Shulz lúc này va chạm với vấn đề giáo sư Green nghiên cứu, bùng nổ ra những tia lửa chói lọi.

Thời gian trôi qua lặng lẽ, bên ngoài cửa sổ trời dần tối.

Đèn thư viện tự động bật sáng, chiếu xuống trang sách những vòng ánh sáng ấm áp.

Xiāo Sù chẳng hề hay biết, hoàn toàn chìm đắm trong thế giới toán học do mình kiến tạo.

Cho đến khi điện thoại rung, là cuộc gọi từ Cổ Thanh Huân.

“Xiāo Sù, cậu vẫn ở thư viện à? Đến giờ ăn tối rồi đấy.”

Xiāo Sù nhìn đồng hồ, ngạc nhiên phát hiện đã sáu giờ rưỡi rồi.

Anh ngồi suốt hai tiếng đồng hồ mà chẳng hề cảm nhận được thời gian trôi.

“Ừ, tôi về ngay.”

“Đến thẳng nhà ăn cán bộ đi, tôi đợi cậu ở đó. Nhân tiện nói chuyện về cuốn sách cậu đang đọc.”

Ngắt điện thoại, Xiāo Sù thu xếp đồ đạc, gấp tờ giấy đầy công thức và ý tưởng cẩn thận, bỏ vào tận đáy túi sách.

Khi bước ra khỏi thư viện, khuôn viên Đại học Kính Đại đã chìm trong bóng hoàng hôn.

Đèn đường lần lượt bật sáng, tòa giảng phía đối diện hồ Vị Danh sáng trưng, phản chiếu trên mặt hồ, vỡ vụn theo từng gợn sóng thành những vệt ánh sáng lung linh.

Xiāo Sù bước trên con đường lát đá, bước chân nhẹ nhàng.

Anh chợt nhớ đến câu hỏi của Chén Lín, “Cái khả năng nhìn thấu bản chất vấn đề của cậu rốt cuộc được rèn luyện thế nào nhỉ?”

Thực ra, Tiểu Túc cũng chẳng hiểu rõ lắm. Đối với anh ấy, toán học chẳng bao giờ là một kỹ năng cần phải "luyện tập". Đó là bản năng giúp anh cảm nhận thế giới.

Giống như loài chim sinh ra đã biết bay, loài cá sinh ra đã biết bơi, anh ấy vốn dĩ đã thấu hiểu cách tách rời những cấu trúc cốt lõi khỏi vô vàn những biểu hiện hỗn độn.

Thế giới này, dù là vật lý, hình học hay đại số, trong mắt anh đều là một tòa kiến trúc khổng lồ và tinh tế.

Trong khi người khác còn đang ngạc nhiên trước những hoa văn trang trí trên tường bên ngoài, anh ấy đã nhìn thấu vị trí của những bức tường chịu lực, cách sắp xếp của các dầm cột, nguyên lý cơ học của toàn bộ cấu trúc.

Có lẽ đó chính là thứ được gọi là "thiên phú" vậy.

Một trực giác mà anh ấy không thể giải thích, cũng không thể truyền đạt.