Quyển 1 · Chương 25: Cái này nặng nề quá

Thứ tư hai giờ năm mươi chiều, giảng đường của Viện Nghiên cứu Toán học đã chật kín người, ồn ào náo nhiệt đến khó tả. Khi Hiệu Súc theo sau Lưu Hạo Nhiên bước vào, anh có thể cảm nhận rõ ràng vô số ánh mắt đổ dồn về phía mình.

Có ánh mắt tò mò, có ánh mắt thăm dò, thậm chí còn có mấy sinh viên trông như nghiên cứu sinh đang bàn tán xì xào. Hiệu Súc thính tai lắm, thoáng nghe lỏm được mấy tiếng thì thào như “chính hắn ấy”, “mười lăm tuổi”...

Lưu Hạo Nhiên rõ ràng đã quen với cảnh tượng này rồi. Anh dẫn Hiệu Súc thẳng tới chỗ ngồi ở dãy thứ ba sát lối đi. Đây là chỗ mà Cố Thanh Uyên đặc biệt dặn giữ lại, vừa không quá sát phía trước gây chú ý, vừa có thể quan sát rõ bảng đen và máy chiếu.

“Bác Cố đâu?” Hiệu Súc ngồi xuống liền hỏi.

“Bác ấy cùng các giáo sư khác ở hậu trường tiếp Giáo sư Grin đấy, lát nữa sẽ ra ngay.” Lưu Hạo Nhiên hạ thấp giọng, “Hôm nay đông người lắm, nhìn hàng đầu tiên kìa, mấy vị tóc bạc trắng ấy đều là lão làng trong viện. Giáo sư Lý Trường Thanh, Chủ nhiệm Trần Cảnh Minh, thậm chí còn có cả Viện sĩ Vương từ Đại học Thanh Thanh tới.”

Hiệu Súc theo hướng tay Lưu Hạo Nhiên chỉ nhìn qua. Quả nhiên, hàng đầu tiên ngồi mấy vị giáo sư già có phong thái phi phàm, có người đang xem tài liệu, có người thì trò chuyện nhỏ nhẹ.

Ngồi ngay chính giữa là một cụ già đặc biệt thu hút ánh nhìn. Cụ đầu bạc, đeo cặp kính vàng, đang chăm chú xem ghi chép trên tay, thỉnh thoảng lại ghi chú thêm vài dòng.

“Vị ấy chính là Viện sĩ Vương,” Lưu Hạo Nhiên tiếp tục giới thiệu, “là bậc thầy trong lĩnh vực Hình học Đại số của nước nhà, hơn bảy mươi tuổi rồi vẫn kiên trì tham gia seminar mỗi tuần. Nghe nói hồi còn du học ở Princeton, cụ ấy từng có dịp gặp mặt Grothendieck đấy.”

Grothendieck, đó chính là một trong những người đặt nền móng cho Hình học Đại số hiện đại, bộ “Éléments de Géométrie Algébrique” (EGA) của cụ ấy là kinh thánh của vô số nhà toán học. Hiệu Súc từng nhìn thấy bộ sách tiếng Pháp nguyên bản dày cộp mấy tập trên giá sách của Cố Thanh Uyên, bìa sách đã mòn đến trắng xóa.

Vị được mệnh danh là “Hoàng đế Toán học”, bất cứ ai nghiên cứu toán học đều không thể bỏ qua ông.

Chẳng bao lâu sau, Cố Thanh Uyên cùng đoàn giáo sư bước vào, lần lượt ngồi vào ghế của mình. Đúng ba giờ, đèn trong giảng đường dần tối đi, máy chiếu trên bục giảng bật sáng.

Một vị giáo sư ngoại quốc bước lên bục, trông ông khoảng sáu mươi tuổi, dáng người gầy cao, tóc xám bạc chải gọn gàng, mặc vest xám đậm, không thắt cravat, phong thái vừa thanh nhã vừa có chút xa cách đặc trưng của học giả.

“Đó chính là Giáo sư Robert Grin.” Lưu Hạo Nhiên thì thào bên tai Hiệu Súc, “người của Viện Courant thuộc Đại học New York, tuyệt đối là bậc thầy trong lĩnh vực Hình học Số học. Thời trẻ ông từng theo học phái Pháp, sau này cũng có nhiều đóng góp tiên phong trong lý thuyết Hodge p-adic.”

Một vị giáo sư bước lên bục, chỉnh lại micro.

“Kính chào quý thầy cô và các bạn sinh viên. Hôm nay chúng tôi vô cùng vinh dự khi được chào đón Giáo sư Robert Grin từ Đại học New York tới đây, với chủ đề bài giảng ‘Ước lượng hiệu quả về sự phân bố điểm hữu tỉ trên đường cong đại số nhiều chiều’. Giáo sư Grin là học giả uy tín hàng đầu trong lĩnh vực Hình học Số học quốc tế, đã có nhiều đóng góp quan trọng trong lĩnh vực đa tạp Abel, dạng modular và lý thuyết Hodge p-adic. Xin nhiệt liệt hoan nghênh Giáo sư Grin.”

Tiếng vỗ tay vang lên, Giáo sư Grin bước ra giữa bục giảng. Ông trông có vẻ lớn tuổi nhưng giọng nói vẫn rõ ràng và vang dội.

“Cảm ơn lời mời của Đại học Kình Đại. Tôi rất vui khi được giao lưu cùng mọi người ở đây.”

Anh mở bản thảo ra, trên màn chiếu hiện lên tiêu đề đầu tiên: Giới thiệu và Động lực (Introduction and Motivation).

“Hôm nay tôi muốn thảo luận về một vấn đề, đó là làm thế nào để ước lượng số lượng điểm hữu tỉ trên các đường cong đại số nhiều chiều,” giọng nói của Giáo sư Green đều đặn, không hề vội vã. “Đây là một bài toán kinh điển trong hình học số học, nhưng ngay cả ngày nay, chúng ta vẫn không ngừng tìm kiếm những công cụ và phương pháp tốt hơn.”

Ông bắt đầu từ những khái niệm cơ bản nhất: thế nào là đường cong đại số, thế nào là điểm hữu tỉ, tại sao nghiên cứu sự phân bố của chúng lại quan trọng.

Tiểu Hạ nghe rất chăm chú, mặc dù những kiến thức nền tảng này anh đã thuộc nằm lòng từ lâu, nhưng cách giảng của Giáo sư Green lại có nét đặc biệt riêng. Ông luôn xuất phát từ những ví dụ đơn giản nhất, dần dần dẫn dắt đến những vấn đề sâu sắc.

“Hãy xét một đường cong elliptic,” Giáo sư Green nói, vừa vẽ trên bảng trắng một đường cong trơn tru. “Định lý Mordell nổi tiếng cho chúng ta biết rằng tập hợp các điểm hữu tỉ trên đó tạo thành một nhóm Abel hữu hạn sinh. Nhưng khi ta nâng chiều lên—ví dụ như xét siêu mặt bậc ba, hoặc tổng quát hơn là giao điểm hoàn chỉnh—vấn đề trở nên phức tạp gấp bội.”

Trên màn chiếu hiện lên những công thức phức tạp cùng biểu đồ rối rắm.

Giáo sư Green bắt đầu giới thiệu công trình chính của mình: một phương pháp tổ hợp dựa trên hàm chiều cao và sàng lọc, nhằm ước lượng cận trên cho số lượng điểm hữu tỉ trên các đa tạp đại số nhiều chiều.

“Ý tưởng then chốt là kết nối sự phân bố chiều cao của các điểm hữu tỉ với các bất biến hình học của đa tạp,” Giáo sư Green nói, vừa dùng bút laser chỉ vào một công thức trên màn chiếu. “Bằng cách giới thiệu một hàm chiều cao được thiết kế tỉ mỉ, chúng ta có thể biến bài toán đếm thành bài toán ước lượng không điểm của một hàm L nào đó.”

Phòng hội thảo im lặng tuyệt đối, chỉ còn nghe tiếng giảng của Giáo sư Green cùng tiếng xào xạc của đầu bút viết trên giấy.

Tiểu Hạ để ý thấy ở hàng ghế đầu, Viện sĩ Vương thỉnh thoảng gật gật đầu, thỉnh thoảng lại nhanh chóng ghi chép gì đó vào sổ tay. Giáo sư Lý Trường Thanh ngồi phía dưới, hơi cau mày, như thể đang thắc mắc về một chi tiết nào đó.

Khi buổi thuyết trình bước vào nửa chặng đường, Giáo sư Green bắt đầu đi sâu vào phần trọng tâm kỹ thuật. Lúc này tốc độ nói của ông rõ ràng nhanh hơn, chữ viết trên bảng cũng dày đặc hơn.

Trên màn chiếu hiện đầy những biểu đồ giao hoán phức tạp cùng những bất đẳng thức dài ngoằng nối tiếp nhau.

“Ở đây chúng ta cần sử dụng một kết quả sâu sắc từ lý thuyết Hodge p-adic,” Giáo sư Green quay lại, viết trên bảng trắng phần còn trống một phát biểu định lý. “Đối với các đa tạp xạ ảnh trơn tru, nhóm đồng điều étale p-adic của nó sở hữu một cấu trúc lọc trọng đặc biệt. Cấu trúc này cho phép ta kết nối thông tin số học của các điểm hữu tỉ với cấu trúc tô pô hình học của đa tạp.”

Đôi mắt Tiểu Hạ sáng lên.

Đây chính là phần anh quan tâm, lý thuyết Hodge p-adic, một trong những công cụ cốt lõi của lý thuyết không gian hoàn hảo.

Giáo sư Green tiếp tục giảng giải về tư tưởng chứng minh của mình. Khung lý thuyết tổng thể vẫn theo lối cổ điển: trước tiên dùng hàm chiều cao để sàng lọc ra những “điểm hữu tỉ có chiều cao nhỏ,” sau đó ước lượng số lượng chúng bằng phương pháp sàng lọc, cuối cùng dùng lý thuyết p-adic để xử lý các trường hợp biên.

Phương pháp của ông rất vững chắc, nhưng Tiêu Tú luôn cảm thấy… hơi nặng nề. Như dùng một chiếc búa to để đóng một cái đinh, có thể đóng vào được, nhưng không đủ tinh tế và thanh thoát. Dù tuổi còn nhỏ, Tiêu Tú lại có trong mình một sự ngoan cố đặc biệt về toán học, thậm chí có thể nói là cuồng tín. Phải thanh thoát, phải nghiêm ngặt, phải gọn nhẹ. Đó là điều ông theo đuổi.

Khi buổi nói chuyện bước vào phần đặt câu hỏi, vị giáo sư đầu tiên giơ tay là giáo sư Lí Trường Thanh.

Đặt câu hỏi trong lúc thuyết trình là một phép lịch sự với diễn giả, và với tư cách là chủ nhà, các giáo sư của Kinh Đại luôn phải thể hiện thái độ trước.

"Giáo sư Grin, tôi muốn hỏi một chi tiết kỹ thuật," Lí Trường Thanh đứng dậy, giọng điềm tĩnh nhưng nhắm thẳng vào trọng tâm.

"Trong chứng minh định lý chính của ông, bổ đề 3.7 sử dụng định lý so sánh của lý thuyết Hodge p-adic. Nhưng định lý đó yêu cầu đa tạp phải trơn. Với đa tạp giao thoa đầy đủ nhiều chiều mà ông đang xét, nếu nó có điểm kỳ dị, phương pháp này còn áp dụng được không?"

Giáo sư Grin gật đầu.

"Câu hỏi rất hay. Thực tế, định lý so sánh cổ điển yêu cầu tính trơn. Với trường hợp có điểm kỳ dị, chúng ta cần phải dùng kỹ thuật giải kỳ dị thổi phồng lên đa tạp, sau đó áp dụng định lý trên đa tạp trơn đã thổi phồng, rồi cuối cùng truy vết thông tin trở lại đa tạp gốc. Điều này sẽ đưa vào thêm một số phức tạp kỹ thuật, nhưng khung lý thuyết vẫn hiệu quả."

"Tôi hiểu rồi, cảm ơn ông," Lí Trường Thanh ngồi xuống.

Sau đó, vài vị giáo sư và sinh viên khác lần lượt đặt câu hỏi, hầu hết đều xoay quanh các chi tiết kỹ thuật hoặc sự mở rộng tiếp theo. Giáo sư Grin lần lượt trả lời, thể hiện sự thành thạo tuyệt vời của mình đối với công trình.

Ngay khi người dẫn chương trình chuẩn bị tuyên bố kết thúc buổi nói chuyện, Tiêu Tú giơ tay.

Trong hội trường bỗng dưng nổi lên một làn sóng xôn xao nhẹ.

Rất nhiều người quay đầu nhìn về phía hàng ghế thứ ba, một cậu bé trông quá trẻ so với tuổi, nổi bật giữa đám đông giáo sư và nghiên cứu sinh.

Giáo sư Grin cũng để ý tới.

Ông đẩy kính lên, lộ ra vẻ hứng thú: "Xin mời."

Tiêu Tú đứng dậy.

Lưu Hạo Nhiên bên cạnh căng thẳng nhìn cậu, sợ cậu hỏi ra những điều quá sắc bén.

Cổ Thanh Tâm cũng không khỏi tim đập thình thịch, đứa trẻ này liệu lần nữa lại nói ra điều gây sốc chăng?

"Giáo sư Grin, tôi có một câu hỏi về việc cải tiến phương pháp,"

Giọng nói của Tiêu Tú trong trẻo và bình tĩnh, hoàn toàn không giống như một thiếu niên mười lăm tuổi đang đứng trước các học giả hàng đầu.

"Phương pháp của ông dựa trên lý thuyết Hodge p-adic cổ điển và phương pháp sàng chiều cao. Tôi tự hỏi, nếu đưa vào lý thuyết không gian hoàn hảo (perfectoid spaces) hiện đại hơn, liệu có thu được những đánh giá gọn nhẹ và bản chất hơn không?"

Hội trường bỗng chốc im lặng.

Không gian hoàn hảo, đó là lý thuyết mà Peter Scholze khởi xướng vào năm 2011, đã hoàn toàn thay đổi diện mạo của hình học p-adic. Nhưng hệ thống lý thuyết này cực kỳ trừu tượng và khó nhằn, ngay cả trong giới các nhà toán học chuyên nghiệp, số người thực sự hiểu và ứng dụng nó cũng không nhiều.

Giáo sư Green rõ ràng ngừng lại một chút. Ông nhìn chằm chằm vào Xiao Su vài giây, rồi mỉm cười.

"Một câu hỏi thật sắc bén. Thực ra, gần đây tôi cũng đang suy nghĩ theo hướng này. Lý thuyết không gian hoàn hảo thực sự cung cấp một khung lý thuyết mạnh mẽ hơn cho hình học p-adic, nhưng để ứng dụng nó vào các bài toán ước lượng số học cụ thể, chúng ta phải vượt qua rất nhiều rào cản kỹ thuật."

Ông dừng lại, tiếp tục nói.

"Chẳng hạn, trong khung lý thuyết không gian hoàn hảo, chúng ta cần định nghĩa lại khái niệm hàm chiều cao, đồng thời xây dựng một hệ thống định lý so sánh mới. Những công việc này đang được tiến hành, tôi và vài học trò của mình đang cố gắng ứng dụng một số ý tưởng của Scholze vào vấn đề điểm hữu tỉ trên các đa tạp Abel. Nhưng thành thật mà nói, con đường này vẫn còn rất dài."

Xiao Su gật đầu, không ngồi xuống ngay, mà tiếp tục hỏi.

"Vậy theo ông, ưu điểm cốt lõi của lý thuyết không gian hoàn hảo nằm ở đâu? Tại sao nó có thể cung cấp sự hiểu biết sâu sắc hơn so với các phương pháp cổ điển?"

Câu hỏi này đúng vào điểm nghiên cứu quan tâm của giáo sư Green. Đôi mắt ông sáng lên, bước đến bảng đen, xóa đi một phần nội dung, rồi bắt đầu vẽ sơ đồ.

"Hãy tưởng tượng một trường số p-adic, dưới góc nhìn cổ điển, nó giống như một cái cây phân dạng, có vô số nhánh."

Giáo sư Green vẽ một cái cây phân nhánh hướng lên trên.

"Sự đột phá của không gian hoàn hảo nằm ở chỗ, chúng ta có thể kết nối trường p-adic và trường đặc số p bằng một cách 'vô hạn xấp xỉ'. Cụ thể hơn, thông qua việc lấy một loại giới hạn nào đó, một trường hoàn hảo p-adic (p-adic perfectoid field) và một trường hoàn hảo đặc số p (perfect field) sẽ trở thành những 'anh em sinh đôi' theo một nghĩa nào đó."

Ông viết hai ký hiệu toán học lên bảng, nối chúng bằng một mũi tên kép.

"Điều kỳ diệu của sự kết nối này nằm ở chỗ, nó cho phép chúng ta chuyển đổi các vấn đề trong thế giới p-adic thành các vấn đề trong thế giới đặc số p, nơi cấu trúc đại số thường đơn giản hơn nhiều. Sau đó, chúng ta lại 'nâng' kết quả trở lại thế giới p-adic."

Giáo sư Green càng nói càng say sưa, hoàn toàn chìm đắm trong trạng thái giảng bài.

"Đó chính là sức mạnh của lý thuyết không gian hoàn hảo—nó xây dựng nên một cây cầu nối liền hai vũ trụ toán học tưởng chừng như hoàn toàn khác biệt."

Xiao Su chăm chú lắng nghe, trong tâm trí những ý tưởng rời rạc trước đây của anh bắt đầu tự động ghép nối lại với nhau.

Không gian hoàn hảo, hình học p-adic, ước lượng điểm hữu tỉ... Những khái niệm ấy như những mảnh ghép, đang dần hình thành nên một bức tranh hoàn chỉnh.

"Cảm ơn lời giải thích của ông." Cuối cùng Xiao Su cũng ngồi xuống.

Giáo sư Green nhìn anh, đột nhiên hỏi:

"Em tên gì vậy? Tôi thấy em dường như rất quen thuộc với lý thuyết không gian hoàn hảo."

"Tôi là Xiao Su."

Ở dưới khán đài, Cố Thanh Sâm trả lời thay anh, giọng điệu mang theo niềm tự hào khó che giấu.

"Là đặc tuyển sinh của khoa Toán, năm nay mới mười lăm tuổi."

Báo cáo tīng lǐ xiǎng qǐ yī zhèn dī dī de jīng tàn shēng. Gé lín jiào shòu yǎn jīng zhēng dà le xiē: “Shí wǔ suì? Nǐ zài kàn shū ěr cí de lùn wén?” “Zài kàn.” Xiào xiǔ jiǎn dān huí dá. “Liǎo bù qǐ.” Gé lín jiào shòu yóu zhēn de shuō, “Nà tào lǐ lùn wǒ huā le sān nián cái miǎn qiǎng rù mén. Rú guǒ nǐ yǒu xìng qù, jiǎng zuò jié shù hòu wǒ men kě yǐ duō liáo liáo, wǒ duì nǐ gāng cái tí de nà ge wèn tí hěn gǎn xìng qù.” Jiǎng zuò zài yī zhǒng wēi miào de qì fēn zhōng jié shù. Xué sheng men kāi shǐ lù xù tuì chǎng, dàn bù shǎo jiào shòu hé yán jiū shēng liú le xià lái, wéi zhe gé lín jiào shòu jì xù tǎo lùn. Xiào xiǔ yuán běn dǎ suàn zhí jiē lí kāi, dàn liú hào rán lā zhù le tā. “Cù lǎo shī ràng nǐ děng yī xià, yī huìr yào gēn gé lín jiào shòu dǎ ge shǒu hào.” Guǒ rán, jǐ fēn zhōng hòu, gù qīng chén dài zhe gé lín jiào shòu zǒu le guò lái. “Gé lín jiào shòu, zhè jiù shì xiào xiǔ.” Gù qīng chén jiè shào dào, “Wǒ mù qián zhǐ dǎo de xué sheng.” Gé lín jiào shòu hé xiào xiǔ wò le wò shǒu, wò de hěn yòng lì. “Xiào, nǐ gāng cái de wèn tí hěn yǒu jiàn dì. Nǐ shì zài nǎ lǐ xué dào wán měi kōng jiān lǐ lùn de?” “Zì xué. Kàn le shū ěr cí de lùn wén hé yī xiē zōng shù.” Xiào xiǔ rú shí huí dá. “Zì xué?” Gé lín jiào shòu gèng jīng yà le, “Nà jǐ piān diàn jī lùn wén kě bù hǎo dú. Hěn duō jiào shòu dōu kěn bù xià lái.” Gù qīng chén zài páng biān wēi xiào: “Xiào xiǔ zài shù xué shàng yǒu xiē tè bié de tiān fù. Tā zuì jìn hé wǒ de lìng yī gè xué sheng hé zuò le yī piān lùn wén, yòng le lèi sì de sī xiǎng, yòng jiā quán dù liàng chǔ lǐ qí diǎn wèn tí, tóu gěi le “shù xué fā míng”.” “Shù xué fā míng?” Gé lín jiào shòu yǎn jīng yī liàng, “Guān yú shén me de?” “Gāo wéi dài shù cù de suàn shù jī hé, yòng le yī xiē p jìn jī hé de gōng jù.” Gù qīng chén shuō de bǐ jiào bǎo shǒu, dàn gé lín jiào shòu lì kè míng bái qí zhōng de fèn liàng. “Nà wǒ men kě yǐ hǎo hǎo liáo liáo le.” Gé lín jiào shòu zhuǎn xiàng xiào xiǔ, “Wǒ míng tiān xià wǔ de fēi jī huí niǔ yuē, shàng wǔ yǒu shí jiān. Rú guǒ nǐ yuàn yì, wǒ men kě yǐ zhǎo ge shí jiān tǎo lùn yī xià shù xué. Guān yú wán měi kōng jiān lǐ lùn zài yǒu lǐ diǎn wèn tí shàng de yìng yòng, wǒ zuì jìn yǒu xiē xiǎng fǎ, kě néng nǐ huì gǎn xìng qù.” Xiào xiǔ kàn xiàng gù qīng chén, hòu zhě diǎn diǎn tóu. “Hǎo de, xiè xiè jiào shòu.” Xiào xiǔ dā yìng le. Yòu liáo le jǐ jù hòu, gé lín jiào shòu bèi qí tā jiào shòu lā qù jì xù tǎo lùn. Gù qīng chén pāi pāi xiào xiǔ de jiān bǎng:

“Biểu hiện không tồi. Giáo sư Grin là người rất khó tính, ông ấy chủ động mời cậu thảo luận riêng chứng tỏ ông ấy thực sự công nhận trình độ của cậu.”

Lưu Hạo Nhiên thì thầm bên cạnh: “Chẳng phải chỉ công nhận đâu… Tớ thấy mắt giáo sư Grin sáng lên như thể vừa tìm thấy báu vật vậy.”

Cổ Thanh Sân mỉm cười: “Thôi, cậu đi làm việc đi.”

Anh liếc nhìn đồng hồ: “Tôi còn một cuộc họp nữa. Cậu về ký túc xá nghỉ ngơi đi. Mai mười giờ sáng, đến văn phòng của tôi trong viện.”

“Vâng.”