Chương 27: Điểm khó

Ngày hôm sau, Tiểu Túc đến sớm hơn mười phút so với giờ hẹn. Đối với anh, thời gian vô cùng quan trọng, bất kể là thời gian của ai, cũng không thể lãng phí chút nào.

Anh không hề cảm thấy căng thẳng hay chuẩn bị gì đặc biệt. Trong lòng chỉ có một chút háo hức mơ hồ, giống như hồi nhỏ khi đột nhiên tìm thấy một cuốn sách chưa đọc trong thư viện vậy.

Cánh cửa văn phòng của Cố Thanh Sâm khép hờ, bên trong vọng ra tiếng xào xạc nhẹ nhàng của giấy.

Tiểu Túc gõ cửa nhẹ hai tiếng.

"Vào đi." Giọng của Cố Thanh Sâm.

Đẩy cửa bước vào, Cố Thanh Sâm đang ngồi trước bàn làm việc, tay cầm cuốn bản in trước của giáo sư Lạp Lâm để lại hôm qua, đôi mày hơi cau lại.

Trên bàn đã bày sẵn hai tách trà vừa pha, hơi nước bốc lên nghi ngút, mùi thơm thanh thoát lan tỏa.

"Chú Thanh Sâm." Tiểu Túc khẽ chào, ngồi xuống chiếc ghế đối diện, đặt chiếc cặp xuống cạnh chân, lấy ra tờ giấy nháp trải trên bàn.

Cố Thanh Sâm ngẩng đầu, nhìn thấy Tiểu Túc, đôi vai vốn căng thẳng bỗng dịu xuống chút.

Anh mỉm cười chỉ vào tách trà: "Trà vừa pha, còn ấm, cháu uống thử đi. Giáo sư Lạp Lâm chắc sắp đến rồi, hôm qua ông ấy có nói đặc biệt muốn nói chuyện kỹ với cháu về ứng dụng của không gian hoàn hảo trong việc ước lượng điểm hữu tỷ."

Tiểu Túc gật đầu, nâng tách trà lên nhấp một ngụm, mùi trà thoang thoảng lan trên đầu lưỡi.

Anh không nói gì, chỉ cúi đầu nhìn tờ giấy nháp, ngón tay vô thức lướt nhẹ qua những công thức rải rác, trong đầu lại tái hiện lại những nội dung giáo sư Lạp Lâm giảng hôm qua, cùng những ý tưởng chưa định hình của chính mình.

Cố Thanh Sâm nhìn Tiểu Túc chăm chú, trong lòng không ngừng dâng lên niềm tự hào và yêu thương.

Vừa định suy nghĩ lan man, cánh cửa văn phòng lại vang lên tiếng gõ.

Giọng của giáo sư Lạp Lâm vọng vào: "Thanh Sâm, Tiểu Túc, ta đến muộn chưa?"

Cố Thanh Sâm lập tức đứng dậy, nở nụ cười trên môi: "Không không, giáo sư Lạp Lâm, thầy đến vừa đúng lúc."

Giáo sư Lạp Lâm đẩy cửa bước vào, ôm chồng tài liệu và ghi chép dày cộp, nét mặt hiền từ.

Hôm nay ông mặc bộ vest đen, thắt thêm chiếc cà vạt, trông trang trọng hơn hẳn.

Đôi mắt ông thoáng hiện vẻ mệt mỏi rõ rệt, hiển nhiên là sau buổi thuyết trình hôm qua ông lại thức khuya chỉnh lý tài liệu.

"Tiểu Túc, chào buổi sáng." Giáo sư Lạp Lâm tiến đến bên cạnh Tiểu Túc, cúi xuống nhìn tờ giấy nháp trên bàn, đôi mắt sáng lên: "Hình như tối qua về nhà cháu cũng vẫn suy nghĩ về vấn đề này?"

"Ừ," Tiểu Túc ngẩng đầu, giọng điềm tĩnh: "Có vài ý tưởng rời rạc, chưa được chỉnh lý."

"Ý tưởng rời rạc cũng rất quý giá." Giáo sư Lạp Lâm mỉm cười gật đầu, đặt chồng tài liệu ghi chép xuống bàn, rút ngẫu nhiên một cuốn ra.

"Đi thôi, chúng ta bắt đầu từ chỗ hôm qua chưa nói xong. Cháu hôm qua có nhắc đến việc muốn dùng lý thuyết không gian hoàn hảo để cải tiến phương pháp hàm chiều mà ta đề xuất, ta về nhà suy nghĩ kỹ, thấy cách nghĩ này rất triển vọng. Nhưng hiện tại chúng ta gặp phải một nút thắt, chưa vượt qua được."

Ông lật mở cuốn sách, chỉ vào trang có công thức, giọng trở nên nghiêm túc: "Đúng như cháu nghe hôm qua, chúng ta muốn đem 'cấu trúc song sinh' của không gian hoàn hảo, tức là mối quan hệ tương ứng giữa trường p-adic hoàn hảo và trường đặc trưng p hoàn hảo, ứng dụng vào việc xây dựng hàm chiều. Nhưng như vậy phải xây dựng trước một hàm chiều đơn giản trong trường đặc trưng p hoàn hảo, tính toán số lượng điểm hữu tỷ, sau đó thông qua 'cây cầu' không gian hoàn hảo, 'nâng lên' kết quả trở lại thế giới p-adic, mới có thể thu được ước lượng hữu hiệu về sự phân bố điểm hữu tỷ mà ta cần."

Khi giáo sư Lạp Lâm nói "nâng lên", kỳ thực là chuyển đổi kết quả đơn giản trong thế giới đặc trưng p thành kết quả chính xác trong thế giới p-adic.

Đây là một trong những ứng dụng cốt lõi nhất của lý thuyết không gian hoàn hảo.

Nhưng quá trình này chẳng hề đơn giản chút nào.

Cứ như thể phóng to một bức ảnh mờ nhòe, nhưng trong lúc phóng to ấy, những khuyết điểm trên bức ảnh cũng bị phóng to vô hạn, thậm chí càng trở nên mờ nhòe hơn. Quá trình "nâng cấp" cũng sinh ra sai số, và chính cái sai số ấy đang là trở ngại lớn nhất kìm chân họ.

"Vấn đề nằm ngay ở khâu 'nâng cấp'." Giáo sư Green nhẹ nhàng chạm vào công thức trên bảng, giọng đượm vẻ bất lực. "Tôi và nhóm nghiên cứu đã thử đủ mọi phương pháp, nhưng chẳng cách nào giải quyết được vấn đề sai số tích tụ. Mỗi lần đưa kết quả từ thế giới p đặc trưng trở lại thế giới p-adic, đều sinh ra một sai số nhỏ xíu. Những sai số ấy nhìn chẳng đáng là bao, nhưng khi cộng dồn lại, chúng khiến toàn bộ kết quả ước lượng cuối cùng trở nên vô dụng."

Ông dừng lại, tiếp tục nói: "Không chỉ riêng nhóm tôi gặp phải trở ngại này, mà nó còn là một điểm nghẽn của toàn bộ lĩnh vực hình học số học hiện nay."

Từ khi Schultz đề xuất lý thuyết không gian hoàn hảo vào năm 2011, vô số học giả hàng đầu trên thế giới đã cố gắng ứng dụng nó vào ước lượng điểm hữu tỉ, nhưng tất cả đều bị chặn đứng ngay tại bước sai số tích tụ.

Nếu giải quyết được, không chỉ phương pháp của giáo sư Green sẽ được cải tiến toàn diện, mà còn thúc đẩy sự phát triển của cả lĩnh vực hình học số học, thậm chí có thể mở ra những hướng tư duy mới cho một số bài toán con trong "Chương trình Langlands" – vốn được mệnh danh là "lý thuyết thống nhất vĩ đại của giới toán học", biết bao nhà toán học đã dành cả cuộc đời để theo đuổi nó.

Cô Cố Thanh Sâm đứng bên cạnh lắng nghe, đôi mày cũng theo đó mà nhíu lại.

Cô đương nhiên hiểu được tầm quan trọng của bài toán này, cũng như hiểu được ý nghĩa của một sự đột phá.

Không tự chủ, cô nhìn về phía Tiêu Tú, trong lòng vừa mong chờ vừa lo lắng, mong chàng có thể nảy ra ý tưởng mới, lại vừa sợ chàng bị bài toán này làm khó.

Tiêu Tú không nói gì, chỉ cúi đầu thấp, ánh mắt chăm chú dán vào dãy công thức mà giáo sư Green chỉ, ngón tay vô thức vẽ nguệch ngoạc trên tờ giấy nháp.

Bộ não chàng như một cỗ máy quay cuồng, liên tục lặp lại từng lời giáo sư nói, ráp nối những ý tưởng rời rạc từ hôm qua cùng tất cả kiến thức liên quan đã học được.

Sai số tích tụ… Cấu trúc song sinh của không gian hoàn hảo… Hàm số chiều cao…

Những từ khóa then chốt ấy cứ xoay vòng, va chạm trong đầu chàng, như những hạt ngọc vương vãi đang chờ một sợi dây để kết nối.

Chàng nhớ lại lần cùng Lưu Hạo Nhiên chỉnh sửa bài luận "Phát minh Toán học" hồi trước, khi xử lý bổ đề hiệu chỉnh p-adic theo cách giải thích hình học.

Hồi ấy, hai người đã sử dụng mô hình "cây phân dạng", bằng cách gán trọng số khác nhau cho mỗi nhánh của cây phân dạng, nhằm cân bằng sự phân bố, biến những vấn đề đại số trừu tượng trở nên trực quan.

Cây phân dạng… Trọng số phân bổ…

Bỗng nhiên, như có một tia chớp vụt qua tâm trí, xé tan mọi màn sương mù. Mọi suy nghĩ bỗng trở nên rõ ràng, như rót vào đầu một dòng suối mát lành, khiến chàng tỉnh ngộ.

Chàng giật mình ngẩng đầu lên, đôi mắt sáng lóa đến kinh ngạc: "Nếu… dùng thước đo có trọng số để hiệu chỉnh sai số thì sao?"

Giáo sư Green và cô Cố Thanh Sâm cùng sững người, hai người đều nhìn chàng, ánh mắt đầy kinh ngạc.

"Thước đo có trọng số?" Giáo sư Green chau mày, giọng nghi hoặc, "Tiêu, cậu nói rõ hơn đi. Làm thế nào để dùng thước đo có trọng số hiệu chỉnh sai số? Trước giờ chúng tôi cũng từng thử điều chỉnh thước đo, nhưng hiệu quả không khả quan, vẫn không giải quyết được vấn đề sai số tích tụ."

Tiêu Tú không chút do dự, cầm bút vẽ nhanh trên giấy nháp, không phải những bước tính toán chỉnh chu, mà là một sơ đồ tư duy nhảy cóc.

Một mô hình cây phân dạng đơn giản, vài ký hiệu đại diện trọng số, nhanh chóng hiện ra trên giấy.

"Thưa giáo sư," chàng chỉ vào cây phân dạng trên giấy nháp, giọng điềm tĩnh nhưng vô cùng kiên định, "chúng ta có thể tưởng tượng cặp cấu trúc song sinh giữa thể p-adic hoàn hảo và thể p đặc trưng hoàn hảo như hai cái cây phân dạng giống hệt nhau, mỗi nhánh trên cây đều tương ứng với sự phân bố chiều cao của một điểm hữu tỉ. Sai số tích tụ mà trước giờ các ngài gặp phải, là bởi hai cái cây ấy các nhánh 'không thẳng hàng', mỗi lần nâng cấp đều sinh ra sai lệch vi tế."

“Còn phương pháp đo lường có trọng số, giống như dán nhãn hiệu chỉnh sửa lên từng nhánh của hai cái cây này vậy.” Đôi ngón tay dài thon của cậu thiếu niên lướt nhẹ trên tờ giấy nháp. “Chúng ta có thể phân bổ trọng số khác nhau dựa trên mức độ sai số của mỗi nhánh. Những nhánh có sai số lớn, trọng số sẽ giảm xuống, khiến ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng trở nên nhỏ hơn; những nhánh có sai số nhỏ, trọng số sẽ tăng lên, để phát huy tối đa tác dụng của nó. Như vậy, khi chúng ta nâng kết quả từ thế giới p thế giới lên thế giới p tiến, thông qua phương pháp đo lường có trọng số để chỉnh sửa, chúng ta có thể triệt tiêu những sai số tích lũy ấy, từ đó thu được kết quả ước lượng chính xác.”

Cậu dừng lại một chút rồi bổ sung thêm.

“Hơn nữa, cách xây dựng phương pháp đo lường có trọng số này còn có thể học hỏi từ phương pháp xử lý kỳ dị trước đây. Kết hợp nó với cấu trúc song sinh của không gian hoàn hảo, chúng ta vừa đảm bảo được độ chính xác trong chỉnh sửa, vừa khiến toàn bộ quá trình xây dựng trở nên gọn gàng, tự nhiên, mà không cần phải đưa vào quá nhiều công cụ phức tạp.”

Căn phòng văn phòng chợt im lặng, chỉ còn lại tiếng xào xạc của đầu bút lướt trên giấy.

Tiêu Tú vẫn nhanh chóng bổ sung những ý tưởng quan trọng lên tờ giấy nháp, trong khi Giáo sư Grin và Cố Thanh Hương chồm người vào, mắt dán chặt vào tờ giấy ấy, vẻ kinh ngạc dần chuyển thành sự kinh hoàng.

Tất cả những băn khoăn trong lòng Thanh Hương đã tan biến mất, thay vào đó là niềm tự hào và vui sướng tràn đầy.

Đứa trẻ này luôn có thể vô tình ném ra những ý tưởng khiến người ta phải kinh ngạc.

Cách nghĩ ấy tuy đơn giản nhưng lại chính xác nhắm trúng vào trọng tâm vấn đề, kết nối hai điểm kiến thức tưởng chừng chẳng liên quan với nhau một cách hoàn hảo, vừa giải quyết được vấn đề sai số tích lũy, vừa giữ được sự gọn gàng và tinh tế của toán học.

Đây chính là điểm mạnh nhất của Tiêu Tú, luôn có thể đi thẳng vào bản chất vấn đề, dùng phương pháp đơn giản nhất để giải quyết những vấn đề phức tạp nhất.