Chương 355: Tiêu Túc thấy đề tài của mình ra cũng khá ổn

Phòng làm việc im lặng vài giây.

Hiệu nhìn đẩy hai quyển vở về phía hai người, đột nhiên lại nhớ ra điều gì đó, hỏi:

"Trước đây thầy đưa mấy cuốn sách ấy, các em đọc đến đâu rồi?"

Lời nói nghe có vẻ thoải mái, nhưng Trần Lâm và Lục Kỳ gần như cùng lúc rướn người lên, dây thần kinh trong đầu họ như bị siết chặt lại.

Lần này thì Lục Kỳ tỏ ra bình tĩnh hơn.

"Thầy, cuốn thầy đưa, em đọc đến chương năm cuốn *Phân tích điều hòa và K-lý thuyết tô pô trên nhóm Lie compact* rồi ạ. Về điều kiện khái quát hóa phép phân tích trực giao các dạng bất biến trên nhóm Lie compact lên không gian quỹ đạo tác động nhóm, em thử áp dụng vào không gian tham số trật tự hai trục, có vài suy nghĩ nhưng vẫn chưa thông hết."

Anh ấy lấy từ trong cặp ra một quyển vở khác, mở ra trang có gập góc ở giữa, nơi chất đầy những phép suy luận dày đặc, lề giấy chi chít những dấu chấm hỏi cùng những lời phê ngắn gọn bằng bút chì.

"Còn cuốn *Hình học vi phân của bó sợi và lớp đặc trưng* thì phần lớp đặc trưng em đọc chậm hơn, điều kiện giảm thiểu đồng cấu Chern–Weil trên không gian thương em vẫn chưa nắm hết, nhưng phần liên thông và độ cong phía trước cơ bản đọc xong rồi. Cuốn *Phương pháp tô pô trong thuyết trường lượng tử* thì mới đọc đến chương ba, phần tích phân đường và tức thời tử thì ổn, đến phần phân loại đồng luân của soliton tô pô thì bị tắc, giờ em đang bổ sung kiến thức nền tảng về đồng luân."

Nói xong, anh ấy thở phào nhẹ nhõm, tai hơi đỏ, không biết là vì phấn khích hay căng thẳng.

Hiệu gật đầu, không bình luận gì, ánh mắt chuyển sang Trần Lâm.

Trần Lâm bồn chồn cọ hai tay vào nhau.

Tài liệu thầy đưa trước đây thật sự quá khó. Cuốn *Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm* hai chương đầu còn dễ chịu, nói về định nghĩa biểu diễn tuyến tính và đặc trưng, còn nối được chút với kiến thức nhóm thầy từng dùng trong thi học sinh giỏi. Nhưng từ chương ba, định lý Peter–Weyl cùng toàn bộ chứng minh hiện ra ngay trước mặt, phân tích trực giao không gian hàm bình phương khả tích trên nhóm Lie compact theo biểu diễn bất khả quy, mỗi biểu diễn bất khả quy xuất hiện trong phân tích bao nhiêu lần bằng đúng số chiều của nó, anh ấy đọc đi đọc lại ba lần vẫn không hiểu nổi bước phân tích ấy.

Cuốn *Nhóm Lie compact và biểu diễn của chúng* còn khó hơn nữa. Chương một vẫn đang ôn lại định nghĩa nhóm Lie và ánh xạ mũ, chương hai đột nhiên toàn là sơ đồ gốc, lưới trọng, đại số Cartan. Đối diện với mấy sơ đồ Dynkin dày đặc ấy, anh ấy cố gắng vẽ được hệ gốc của SU(2) và SO(3), nhưng cuốn *Tác động nhóm trên không gian tích trong và tối ưu lọc* vừa mở trang đầu đã là xây dựng chuẩn bất biến nhóm trên không gian tín hiệu phản lực, anh ấy thậm chí chưa đẩy nổi hàm tối ưu chương một.

Còn ba bài báo kia, anh ấy chỉ đọc được ba trang lời nói đầu cuốn *Ứng dụng biểu diễn nhóm Lie trong xử lý tín hiệu lực*, hai bài còn lại thậm chí chưa kịp đọc tóm tắt.

Nhưng mấy thứ ấy nói thế nào đây?

Nói trước mặt thầy "thầy ơi em hầu như chẳng hiểu gì cả" thì thật sự không đành lòng.

"Đều… đều đọc qua rồi ạ." Trần Lâm cố gắng khiến giọng mình nghe có vẻ đáng tin hơn, "lật sơ qua, đại khái hiểu là nói về cái gì rồi."

Nói xong, ánh mắt anh ấy thoáng tránh đi, không dám nhìn thẳng vào Hiệu.

Hiệu không để ý đến chi tiết ấy.

Theo anh ấy nghĩ, nếu Trần Lâm nói đã đọc rồi thì tức là đã đọc xong. Người có thể tự học nhai được chương trình Langlands, mở rộng dạng tự đẳng cấu, thì đọc mấy cuốn sách này không phải vấn đề.

"Ừ."

Hiệu gật đầu, cầm bút, lật sang trang giấy trắng trên bàn, viết gì đó.

Lục Kỳ và Trần Lâm đứng đối diện, nhìn cây bút lướt nhanh trên giấy, cùng lúc trong lòng nảy lên một dự cảm không lành.

Hai người nhìn nhau chằm chằm, cùng nhìn xuống tờ giấy trên tay. Trên đó chỉ vỏn vẹn vài dòng chữ, thế nhưng với Trần Lâm, những dòng chữ ấy như khiến đồng tử anh ta co lại đột ngột.

"Công thức vết tổng quát của dạng tự bảo toàn trong chương trình Langlands trên không gian Deligne-Mumford"

"Xây dựng lại công thức vết Arthur-Selberg trong khung cảnh của không gian chồng, mở rộng ổn định hóa tích phân quỹ đạo từ trường hợp nhóm đại số lên đối đồng điều phẳng trên không gian chồng, đồng thời đưa ra chứng minh chính quy hóa cho mặt hình học và mặt phổ của phiên bản không gian chồng của công thức vết."

Trần Lâm cảm thấy như máu trong người mình đông cứng lại một nửa.

Công thức vết Arthur-Selberg vốn là một trong những công cụ cốt lõi của chương trình Langlands, nó kết nối thông tin mặt hình học và mặt phổ thông qua một đẳng thức vết, là nền tảng của toàn bộ lý thuyết dạng tự bảo toàn. Tầm quan trọng của nó cũng đồng nghĩa với độ khó khủng khiếp—bằng chứng của công thức này trải dài qua bốn lĩnh vực: hình học đại số, lý thuyết biểu diễn, giải tích điều hòa và lý thuyết số. Chỉ để viết chặt chẽ một lần toàn bộ sự triển khai mặt hình học cũng đã cần đến hàng ngàn trang kiến thức chuẩn bị.

Ngay cả trong giới toán học quốc tế, những nhà toán học có thể độc lập hoàn thành toàn bộ chi tiết kỹ thuật của công thức vết từ đầu đến cuối, đếm trên đầu ngón tay cũng hết.

Còn Deligne-Mumford stack—đó là ngôn ngữ cao cấp trong hình học đại số dùng để xử lý không gian thương và không gian moduli, thậm chí còn trừu tượng hơn cả lược đồ. Việc mở rộng công thức vết lên không gian chồng đại số, hướng đi này trên thế giới không phải không ai nghĩ tới, nhưng cho đến nay vẫn chỉ dừng lại ở giai đoạn vài nhà toán học hàng đầu ném ra những phỏng đoán trong hội thảo, thậm chí còn chưa dựng nên một khung cảnh hoàn chỉnh.

Lý do thì đơn giản: hai lý thuyết này, mỗi lý thuyết đều là một đỉnh núi cao ngất.

Khái niệm không gian chồng đại số do Pierre Deligne và Mumford đưa ra vào thập niên 70, khi ấy họ dùng công cụ này để xử lý những tác động nhóm hữu hạn khó thương hóa trong không gian moduli. Còn công thức vết Arthur-Selberg do James Arthur xây dựng, lại là động cơ thúc đẩy toàn bộ lý thuyết dạng tự bảo toàn—từ thập niên 80 đến nay, hầu như mọi đột phá quan trọng trong chương trình Langlands đều không thể thoát khỏi khung cảnh công thức vết của ông.

Nếu thực sự có ai đó có thể thống nhất hai lý thuyết của hai con người này trong cùng một khung cảnh, tên tuổi của người đó chắc chắn sẽ được ghi vào sử sách toán học.

Thế nhưng giờ đây, Tiêu Tú lại giao đề tài này như một tiểu luận cho nghiên cứu sinh. Theo ý hắn, lại còn bắt Trần Lâm phải tự mình hoàn thành! Một mình!

Trần Lâm nắm chặt tờ giấy, toàn thân như hóa đá, trong đầu chỉ lặp đi lặp lại một suy nghĩ: Lẽ ra hắn nên nói thật là không hiểu ngay từ đầu!

Bên cạnh đó, Lục Kỳ cũng không khá hơn là bao. Trên tờ giấy của anh ta viết: "Phân loại bất biến hòa của hiệu ứng xuyên hầm lượng tử trong khiếm khuyết tô pô tinh thể lỏng lượng tử."

"Trong hệ tinh thể lỏng nemat hai trục, xây dựng mô tả hình học symplectic hoàn chỉnh cho quá trình xuyên hầm lượng tử giữa khiếm khuyết Z₂ tầm thường và không tầm thường, chứng minh bất biến hòa trong trạng thái chồng chập lượng tử mở rộng từ ±1 cổ điển sang ±1 và ±i, đồng thời đưa ra công thức tính toán chính xác cho biên độ xuyên hầm."

Lục Kỳ vốn không xa lạ với đề tài này—đó chính là phiên bản hoàn chỉnh của câu hỏi Tiêu Tú từng đặt ra cho anh ta trong hành lang khoa Vật lý hồi ấy. Khi ấy, Tiêu Tú hỏi anh ta, anh ta còn chẳng có nổi một manh mối.

Lục Kỳ bỗng thấy vừa tức vừa cười. Có lẽ trong mắt Tiêu Tú, sau khi đọc xong tài liệu, anh ta giờ đây có thể giải quyết được vấn đề rồi chăng?

Thế nhưng, hiệu ứng xuyên hầm khiếm khuyết do dao động lượng tử gây ra, cùng việc phân loại Z₂ sau xuyên hầm liệu có còn ổn định—đó lại là vấn đề tiền phong mà hiện nay chỉ vài nhóm nghiên cứu hàng đầu trên thế giới vừa mới bắt đầu tiếp cận, và cho đến nay vẫn chưa có ai đưa ra lời giải hoàn chỉnh.

Tiêu Tú giao đề tài này như bài tập đầu tiên cho họ, e rằng hắn đã đánh giá quá cao khả năng của họ.

Dù Trần Lâm và Lục Kỳ đều cảm thấy đề tài Tiêu Tú đưa ra có phần quá sức, thế nhưng trước khi giao đề tài, Tiêu Tú đã thực sự nghiên cứu kỹ yêu cầu tốt nghiệp tiến sĩ của Đại học Kiến Đạt.

Trong phương án đào tạo viết rất rõ: nghiên cứu sinh tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của giáo sư phải độc lập hoàn thành một đề tài nghiên cứu mang tính sáng tạo, đạt trình độ tiên tiến trong cùng lĩnh vực quốc tế, viết luận văn và bảo vệ thành công, thì mới được cấp bằng tiến sĩ.

Tiêu Tú thấy đề tài mình đưa ra vẫn khá ổn: vừa phù hợp với hướng nghiên cứu của hai người, vừa không quá khó, tương đối sáng tạo, lại còn thu hút được nhiều sự quan tâm trên thế giới.