Chương 356: Xem xong rồi đến tìm tôi

“Hai câu đề tài này xong xuôi, các em sẽ có thể tốt nghiệp.” Phòng làm việc im lặng suốt năm giây.

“À?” Cả hai cùng há hốc mồm.

Không phải thế chứ, đề tài luận văn tốt nghiệp ngay lập tức luôn à, thế nếu không làm được thì sao?

Trần Lâm không nhịn được, trong lòng gào thét lên trời, sao chưa khai giảng đã như thể phải trì hoãn tốt nghiệp rồi!

Anh quay đầu nhìn Lục Kỳ, xem anh ta phản ứng thế nào.

Lục Kỳ thuộc kiểu người càng khó càng không chịu thua, nhưng lúc này biểu cảm anh ta cũng không nhẹ nhõm, mồm há ra rồi nói khẽ: “Thầy ơi, đề tài này… có thể cho em thêm chút thời gian, để em chuẩn bị thêm chút nữa được không ạ?”

Trần Lâm cũng vội vàng gật đầu, giọng nói run run: “Dạ thầy, cái này… có lẽ phải học thêm nữa.”

Tiêu Túc hơi nghiêng đầu, có chút ngạc nhiên: “Học gì? Sách không phải đã đọc xong rồi sao?”

Mặt Trần Lâm đỏ bừng, lí nhí giải thích: “Đọc thì có đọc… nhưng đọc không được kỹ lắm, nhiều chỗ… vẫn cần bổ sung thêm.”

Tiêu Túc nhíu mày.

Anh nghĩ một lát, quyết định kiểm tra trình độ thực sự của hai người trước đã.

“Thế thì thầy hỏi hai em vài câu nhé.” Trần Lâm và Lục Kỳ cùng căng thẳng sống lưng.

Tiêu Túc nhìn Lục Kỳ trước: “Bất biến điều hòa trên nhóm Lie G compact, phân tích trực giao trên không gian quỹ đạo G/H, cần điều kiện gì đối với H?”

Lục Kỳ sững lại một chút, rồi trả lời nhanh chóng: “H phải là nhóm con đóng, và phép đo bất biến trên G/H phải thỏa mãn điều kiện phân tích tích phân Weil, nếu H không compact, cần thêm điều kiện modular để đảm bảo tính tương đương giữa phép đo trái bất biến và phải bất biến.”

Tiêu Túc gật đầu, rồi hỏi tiếp: “Trong pha nematic hai trục, không gian giá trị của trường chỉ hướng là SO(3), nhóm cơ bản của nó là gì? Phủ phổ toàn diện tương ứng là gì?”

“Nhóm cơ bản là Z₂, phủ phổ toàn diện là SU(2).” Lục Kỳ trả lời gần như không ngừng nghỉ.

“SO(3) và SU(2) có một đồng cấu hai-một, phần tử đơn vị và phần tử bậc hai của SU(2) đều ánh xạ tới phần tử đơn vị của SO(3), đó là lý do tại sao phân loại Z₂ chỉ có hai loại.”

“Ừ,” giọng Tiêu Túc vẫn bình thản, không thể nghe ra có hài lòng hay không, “trên đa tạp symplectic thương theo quan hệ tương đương nhóm holonomy, sự tồn tại và duy nhất của quỹ đạo năng lượng cực tiểu được đảm bảo bởi cái gì?”

Lục Kỳ mắt sáng lên, câu hỏi này vừa được gợi ý nên anh nhớ còn rõ: “Định lý chính quy hóa độ cong đưa ra phiếm hàm năng lượng lồi chặt, chỉ cần biểu diễn nhóm holonomy là không tầm thường, điểm cực tiểu sẽ tồn tại và duy nhất.”

“Ừ, Berry phase factor nhảy trong không gian tham số, về mặt toán học tương ứng với cấu trúc hình học gì?”

“Tính không tầm thường holonomy của liên thông trên không gian thương, nó không phải là sự biến đổi pha cục bộ, mà là hiệu ứng toàn cục của tenxơ độ cong trên đa tạp nền.”

“Dưới tác dụng của dao động lượng tử, giá trị bất biến holonomy phân loại Z₂ mở rộng từ ±1 trong cổ điển sang đâu?”

Lục Kỳ ngập ngừng.

Câu hỏi này trước đây anh từng thảo luận với Tiêu Túc ở hành lang, hồi đó Tiêu Túc có nhắc qua, nhưng anh không hiểu hết.

Anh cau mày suy nghĩ mười mấy giây, không chắc chắn nói: “±1 và… ±i?”

“Đúng, giá trị của bất biến topo lượng tử trong trạng thái chồng chập lượng tử là căn bậc bốn của đơn vị.”

Tiểu Túc gật đầu, không tiếp tục hỏi thêm, quay sang Trần Lâm.

Lưng Trần Lâm đã thấm đẫm một lớp mồ hôi mỏng.

“Cách xử lý bài toán không gian mô hình đại số chồng đối bằng đại số chồng giải quyết được thêm những gì mà lược đồ không làm được?”

Nghe thấy ba chữ “đại số chồng”, thần kinh căng thẳng của Trần Lâm dường như nới lỏng ra chút ít.

Cái này anh ấy thật sự đã từng đọc qua, trước đây khi thảo luận với Lục Kỳ, anh ấy còn đặc biệt lật ra xem.

Chương hai trong cuốn *Hình học Đại số* của Hartshorne chuyên viết về lược đồ, còn phần giới thiệu trong bài báo kinh điển của Deligne, anh ấy cũng cố gắng đọc tới hai lần.

Anh ấy vội vã sắp xếp ngôn từ trong đầu, rồi mở lời:

“Lược đồ có thể xây dựng được không gian mô hình thô của không gian mô hình, nhưng khi bản thân bài toán mô hình có nhóm tự đẳng cấu phi tầm thường, không gian mô hình thô sẽ đánh mất thông tin về quỹ đạo dạng, còn đại số chồng thông qua việc mã hóa trực tiếp tác động nhóm vào cấu trúc phạm trù, đã bảo toàn những thông tin đó, vì vậy có thể xử lý được vấn đề không gian mô hình mịn.”

Nói xong, trong lòng anh ấy tự khen mình: ổn lắm, câu đầu tiên đã vững vàng rồi.

Tiểu Túc gật đầu.

“Nếu nhóm ổn định của một đại số chồng Deligne-Mumford không tầm thường trên tiểu chồng đóng, thì kỳ dị của không gian mô hình thô dọc theo tiểu chồng đóng đó sẽ bị giải trừ như thế nào thông qua bước cứng hóa của định lý Keel-Mori?”

Dây thần kinh trong đầu Trần Lâm đột nhiên đứt gãy.

Không, đợi đã.

Vừa rồi không phải còn đang hỏi đại số chồng giải quyết được gì hơn lược đồ sao?

Sao câu thứ hai đột nhiên nhảy ngay tới bước cứng hóa của Keel-Mori?

Còn phần chuyển tiếp thì sao?

Chẳng lẽ không nên có một bước đệm nào đó sao? Chẳng hạn như hỏi về đối đồng điều của lớp thác cô đặc trên chồng, hoặc hỏi định nghĩa về nhóm ổn định, ít nhất cũng để người ta có chút thời gian thích nghi chứ!

Định lý Keel-Mori anh ấy quả thật đã từng lướt qua trong tài liệu, biết rằng đó là công cụ cốt lõi để xử lý sự tồn tại của không gian mô hình thô của chồng, nhưng cụ thể làm thế nào để giải trừ kỳ dị trên tiểu chồng đóng, phần chứng minh của định lý ấy quá phức tạp, không chỉ liên quan tới cấu trúc địa phương phẳng của chồng, điều kiện hữu hạn của nhóm ổn định, còn có một loạt thao tác gọi là “cứng hóa”, anh ấy hoàn toàn không hiểu nổi.

Trần Lâm nghiến răng: “Định lý Keel-Mori đảm bảo rằng… trong những điều kiện nhất định, không gian mô hình thô của chồng tồn tại, bước cứng hóa thông qua thương hóa tác động của nhóm ổn định để loại bỏ cấu trúc chồng tại địa phương, nhưng cụ thể dọc theo tiểu chồng đóng thì làm thế nào giải trừ kỳ dị, tôi… tôi không đọc tới phần đó.”

Tiểu Túc biểu cảm bình thản, không nói đúng cũng không nói sai, lại đặt ra câu hỏi thứ ba.

“Đối đồng điều phẳng của đại số chồng Deligne-Mumford với đối đồng điều kỳ dị của không gian mô hình thô của nó, tại những thớ có nhóm ổn định không tầm thường, sự khác biệt được kiểm soát bởi cái gì?”

Trần Lâm hoàn toàn im lặng.

Anh ấy thật sự không biết.

Anh ấy chỉ nhớ trong phần chú thích của một bài báo nào đó, có người nhắc qua rằng hai lý thuyết đối đồng điều này sẽ có sự phân kỳ tại những thớ có nhóm ổn định không tầm thường, mức độ phân kỳ liên quan tới đối đồng điều của nhóm ổn định. Nhưng cụ thể làm thế nào mô tả sự phân kỳ này, dùng công cụ gì để khắc họa, anh ấy hoàn toàn không hiểu, thậm chí không thể xác định liệu câu trả lời có ẩn chứa trong hệ quả nào đó của bước cứng hóa trong định lý Keel-Mori hay không.

Anh ấy cúi đầu xuống, không dám nhìn vào mắt Tiểu Túc.

Tiểu Túc nhìn Trần Lâm như vậy, rồi quay sang Lục Kỳ, không kiềm được nhíu mày.

Anh ấy cứ ngỡ hai người đã tiêu hóa hầu hết nội dung trong danh sách sách giáo trình rồi, mới đưa ra hai đề tài đó cho họ.

Bây giờ nhìn lại, tình hình không giống như anh ấy đoán chút nào.

Lục Kỳ có nền tảng khá vững, thiếu chỉ là kinh nghiệm, nhưng vấn đề của Trần Lâm thì lớn hơn nhiều, anh ấy thậm chí còn chẳng hiểu rõ vấn đề.

"Thế bây giờ các em đang bị kẹt ở chỗ nào? Có vấn đề gì thì cứ hỏi hết hôm nay đi."

Lục Kỳ và Trần Lâm cùng nhau sáng mắt lên, không ngờ Tiêu Tú không những không mắng mỏ mà còn kiên nhẫn giải đáp thắc mắc cho họ, liền vội vàng lấy sổ ghi chép ra.

"Thưa thầy, không gian tham số thứ tự tương quan hai trục S² mở rộng lên SO(3) thì nhóm đồng luân cấu trúc thay đổi, sự phân loại khuyết tật tuyến tính từ số nguyên chuyển thành Z₂, phương án phân loại đồng luân trước đây của con vẫn dùng được trực tiếp trên Z₂ không? Cần điều chỉnh thế nào ạ?"

"Thưa thầy, về công thức vết của dạng tự đẳng cấu trên đa tạp đại số, con thấy trong luận văn có nói cần xử lý sự ổn định hóa tích phân quỹ đạo trên đa tạp, quá trình ổn định hóa này có giống với sự ổn định hóa trên nhóm đại số thông thường không? Những nhóm tự đẳng cấu thừa ra trên đa tạp đại số, có gây thêm những trở ngại trong bước ổn định hóa không ạ?"

"Thưa thầy, khi con suy luận biên độ xuyên hầm bằng tích phân đường, sau khi phân tách điểm yên ngựa, các hạng tử giao thoa giữa các điểm yên ngựa khác nhau trong giới hạn nhiệt độ không sẽ suy giảm thế nào? Tốc độ suy giảm này có liên quan đến chiều dài của vòng khuyết tật hay chỉ liên quan đến tải topo thôi ạ?"

"Thưa thầy..."

Sau khi trả lời xong câu hỏi cuối cùng, Tiêu Tú đặt bút xuống, nhìn hai người, giọng nói đầy tâm tình: "Về đi, tiếp tục đọc sách thêm chút nữa, đọc xong rồi quay lại tìm thầy."

Cái giọng điệu ấy cộng với tuổi tác của Tiêu Tú khiến hai người Trần Lâm và Lục Kỳ nhìn nhau, muốn nói gì đó nhưng nghĩ nát óc cả buổi vẫn chẳng nghĩ ra lời nào để đáp lại, đành lẳng lặng rời khỏi phòng.