Chương 353: Thực sự không cao minh

Tôi Tiểu Tú bước thẳng vào văn phòng riêng trên tầng ba ngay sau khi buổi tham quan kết thúc. Căn phòng hướng nam, ánh sáng chan hòa, ngoài cửa sổ là những cây ngân hạnh Pháp xanh mướt giữa sân trường cùng dãy núi xa xa hiện lên mờ ảo dưới làn sương.

Bệ cửa sổ vẫn trống trơn, chưa đặt bất cứ vật trang trí nào, sạch sẽ vô cùng. Cao Trường An và Cố Thanh Sâm đã bắt đầu sắp xếp công việc tiếp theo, còn Lưu Hạo Nhiên, Trần Lâm và Lục Kỳ cũng xắn tay áo vào giúp đỡ.

Tôi Tiểu Tú vừa ngồi xuống, định tiếp tục công việc nghiên cứu của mình, nhưng nhìn thấy Trần Lâm và Lục Kỳ, bỗng nhớ ra mình vốn dĩ là thầy giáo, thế mà lâu nay chẳng hề hỏi han gì về tình hình học tập của hai học trò. Thế là tôi gọi hai người lại.

Lưu Hạo Nhiên hiểu ý, liền dắt Trì Nghệ rời đi trước: "Nghệ, chúng ta đi kiểm kê danh sách phụ kiện lớp mạ phủ trước đã."

Mấy người rời khỏi phòng. Cánh cửa văn phòng khép lại nhẹ nhàng, không gian chìm vào tĩnh mịch hoàn toàn.

Tôi Tiểu Tú ngồi sau bàn làm việc, Trần Lâm và Lục Kỳ đứng đối diện, nhìn nhau một cái, đều đoán được ý định của thầy. Quả nhiên, tôi Tiểu Tú vừa mở lời liền hỏi:

"Đề tài trước tiến triển thế nào rồi?"

"Dạ..." Trần Lâm liếc nhìn Lục Kỳ, người kia môi mím chặt, vẻ căng thẳng hiện rõ, thế là anh lên tiếng trước.

"Hiện tại tiến độ khá thuận lợi ạ. Về phần tách toán tử ghép, chúng em đã thử hai hướng khác nhau. Em trước tiên theo khung lý thuyết thầy đưa ra, tách toán tử tích phân thành ba hạng mục con tương ứng với hạng mục phi tuyến, hạng mục tán sắc và hạng mục tiêu tán, sau đó dùng dạng tự đẳng cấu trong Chương trình Langlands để khai triển cơ sở toàn cục."

"Sau khi khai triển bằng dạng tự đẳng cấu trong Chương trình Langlands, hạng mục tích phân tán sắc có thể giải tích chính xác dưới dạng tích phân elliptic loại hai, bước này không liên quan đến bất kỳ phép xấp xỉ số nào."

Trần Lâm nói xong, lấy từ trong cặp ra một cuốn sổ tay giấy rời, đẩy về phía tôi Tiểu Tú, mở đến trang đã gập góc. Trang giấy đầy những công thức dẫn xuất dày đặc, từng trang đều được chia thành từng tiểu mục nhỏ, những điểm quan trọng được đánh dấu bằng nhiều màu sắc khác nhau.

"Đối với đa tạp con Lagrange tương ứng điều kiện biên, em đã sử dụng phương pháp chính quy hóa độ cong trong Hình học Cố Tinh để xây dựng. Kết quả cuối cùng thu được là một phương trình biến phân có ràng buộc. Phiếm hàm là lồi nghiêm ngặt, điểm cực tiểu tồn tại và duy nhất. Quỹ đạo vật lý cuối cùng thu được trong không gian pha là một chu trình giới hạn ổn định. Khi tần số lực kích thích ngoài trùng với tần số riêng theo tỷ lệ hai chọi một, biên độ sẽ xuất hiện hiện tượng nhảy vọt, nhưng biên độ nhảy vọt này có thể được kiểm soát chính xác bằng giai hạng kế cận tiếp theo của khai triển tiệm cận yên ngựa, sai số ước lượng của em là epsilon mũ năm phần ba."

Sau khi Trần Lâm gấp sổ lại, Lục Kỳ đợi anh ta ngồi xuống, rồi từ từ mở lời:

"Thưa thầy, cách làm của em khác với Trần Lâm. Em sử dụng phương pháp tích phân đường."

"Quỹ đạo không gian pha của dao động phi tuyến trong tích phân đường tương ứng với cực trị của phiếm hàm tác dụng. Thế là em khai triển phiếm hàm tác dụng đó bằng chuỗi Fourier."

Anh đưa cuốn sổ của mình cho tôi Tiểu Tú, từng trang đều vẽ đầy phác thảo cùng những mũi tên chú thích, bên cạnh những công thức quan trọng còn viết tay bằng bút chì những ghi chú vật lý.

"Phần nhóm holonomy trong toán tử ghép, em không định nghĩa trực tiếp bằng hình học vi phân trên đa tạp symplectic, mà mô tả bằng thừa số pha Berry trong tích phân đường. Khi hệ thống di chuyển trong không gian tham số dọc theo một đường khép kín, sự thay đổi pha hình học của hàm sóng và nghiệm tuần hoàn của dao động phi tuyến cổ điển có mối tương ứng nhất định."

Nói đến đây, anh dừng lại, như thể đang sắp xếp lời lẽ.

"Khi phân tích thừa số pha Berry này, em phát hiện ra rằng nếu tập biểu đồ mũ của hệ thống trên một vùng không gian pha là gần tuần hoàn, thì trong điều kiện cộng hưởng đặc biệt, thừa số pha Berry sẽ xảy ra nhảy vọt. Sự nhảy vọt này trong không gian thực tương ứng với sự thay đổi đột ngột về biên độ của dao động. Em đã mượn tư tưởng phương pháp vòng yên ngựa của thầy, tiến hành xấp xỉ yên ngựa trong tích phân đường, tìm ra một tập giá trị tham số đặc biệt, khiến cho tích phân phân kỳ ban đầu sau khi xét đến đóng góp của yên ngựa ở giai hạng kế cận tiếp theo có thể chuyển thành tích phân hội tụ."

Trần Lâm bên cạnh gật đầu, tỏ ý hai người đã trao đổi với nhau về bước này.

"Đúng vậy, em và Lục Kỳ đã đối chiếu hai kết quả với nhau, phát hiện ra hai cách tiếp cận khác nhau nhưng cuối cùng thu được giá trị tham số tới hạn giống nhau, sai số ước lượng cũng ở mức epsilon mũ năm phần ba."

Nói xong, anh lại bổ sung:

"Sau đó hai đứa em đã tổng hợp lại toàn bộ chứng minh, thống nhất thành một khung lý thuyết tổng quát hơn, tức là quỹ đạo năng lượng cực tiểu của toán tử ghép trên đa tạp symplectic và lớp tương đương nhóm holonomy của nó. Sự tồn tại và duy nhất của nó không phụ thuộc vào tham số vật liệu cụ thể, chỉ cần biểu diễn Holonomy của nhóm holonomy là không tầm thường, điểm cực tiểu chắc chắn tồn tại. Bước cuối cùng trong chứng minh sử dụng Định lý hội tụ toàn cục về chính quy hóa độ cong trong Hình học Cố Tinh."

Tôi Tiểu Tú gật đầu, nhìn hai cuốn sổ trên bàn làm việc. Một cuốn đầy những công thức khai triển dạng tự đẳng cấu cùng dẫn xuất phiếm hàm lồi nghiêm ngặt, cuốn còn lại vẽ đầy hình phác thảo tích phân đường cùng phân tích thừa số pha Berry.

Cách làm của hai người đều không sai, nhưng... quá phức tạp rồi. Đến chính tôi còn không nghĩ nổi có thể đi vòng quanh như vậy.

Trong mắt Tiêu Tú, cốt lõi của bài toán này thực ra chỉ xoay quanh một thứ duy nhất: chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của quỹ đạo năng lượng cực tiểu trên không gian thương mà nhóm holonomy đã bị triệt tiêu khỏi đa tạp symplectic.

Trần Lâm chọn lối đi từ cửa chính của hình học đại số, dùng dạng tự đẳng cấu trong chương trình Langlands để khai triển cơ sở toàn cục, từng lớp từng lớp sàng lọc xuống, cuối cùng khóa chặt nghiệm vào điểm cực tiểu. Con đường này giống như dùng pháo hạng nặng công phá cửa thành, hỏa lực dồi dào, từng bước nghiêm ngặt, mỗi bước đều có căn cứ rõ ràng.

Còn Lục Kỳ lại theo cách ngang tàng hơn. Anh dùng tích phân đường và hệ số Berry để bắt lấy sự biến đổi pha hình học của hệ trong không gian tham số, rồi nhờ phương pháp vòng yên ngựa biến tích phân phân kỳ thành hội tụ, từ trực giác vật lý phản ngược lại cấu trúc toán học. Giống như lần mò trong bóng tối dọc theo bức tường tìm công tắc, bật lên là đèn sáng ngay.

Cả hai đều tìm ra đường lên đỉnh núi.

Nhưng con đường của họ đều quá vòng vèo. Cách làm như vậy thật chẳng đáng gọi là cao minh.

Bài toán này thực ra còn một con đường thẳng hơn.

Nghĩ kĩ lại, bản chất vấn đề chỉ là tìm quỹ đạo năng lượng cực tiểu trên đa tạp symplectic đã triệt tiêu quan hệ tương đương nhóm holonomy.

Nếu dùng ngôn ngữ hình học Couzin để diễn tả lại vấn đề, thì sau khi triệt tiêu quan hệ tương đương nhóm holonomy, quá trình chính quy hóa độ cong của đa tạp nền đã tự nhiên đem lại một phiếm hàm năng lượng lồi nghiêm ngặt. Sự tồn tại và tính duy nhất của điểm cực tiểu là tính chất toàn cục của phiếm hàm này, chẳng cần phải đưa vào từ bên ngoài bất cứ công cụ nặng nề nào, cũng chẳng cần đến phép xấp xỉ yên ngựa của tích phân đường.

Chỉ cần xuất phát từ cấu trúc symplectic của không gian thương, dùng ngay định lý chính quy hóa độ cong là có thể suy ra kết luận trong một bước.

Tiêu Tú chau mày, nhìn hai người đang căng thẳng trước mặt, khẽ nói:

"Cách của các anh, tuy chưa đủ gọn gàng."

Trần Lâm và Lục Kỳ cùng nín thở.

"Nhưng quả thật có thể giải quyết được vấn đề."

Hai người lại cùng thở phào.