Chương 187: Thay đôi mắt cho cơ học chất lỏng

Anh ấy vẽ một đường cong khép kín, rồi trên đường cong ấy cứ cách một đoạn lại vẽ một mũi tên, mũi tên theo đường cong quay một vòng thì hướng thay đổi.

"Đại lượng này có một tính chất rất quan trọng, nó không phụ thuộc vào con đường cụ thể nào mà bạn đi, chỉ phụ thuộc vào cấu trúc toàn thể của 'vùng' nơi con đường ấy nằm. Giống như độ cao của một ngọn núi không phụ thuộc vào bạn leo từ đường nào vậy."

Anh ấy đặt bút xuống, quay người nhìn Giang Minh Viễn.

"Điều này có nghĩa là Tiêu Túc đã tìm ra một phương pháp, dùng ngôn ngữ hình học để mô tả hành vi toàn thể của chất lỏng. Trước đây chúng ta chỉ có thể mô tả từng điểm đang làm gì, giờ đây chúng ta có thể mô tả toàn bộ dòng chảy ấy có hình dạng gì."

Giang Minh Viễn im lặng một lúc.

"Thế... cái này có giải quyết được vấn đề phương trình Navier-Stokes không?"

Cố Thanh Sâm mỉm cười, nụ cười ấy mang một thứ gì đó khó tả, vừa như sự hài lòng, vừa như tiếng thở dài.

"Câu trả lời cho vấn đề này có lẽ còn phức tạp hơn là có thể hay không thể."

Anh ấy quay lại bàn, cầm lấy bài luận văn, lật đến mấy trang cuối.

"Tiêu Túc đã dùng đại lượng hình học gọi là 'hòa hợp' để viết lại phương trình Navier-Stokes. Trước đây phương trình ấy được viết bằng những đại lượng vật lý như vận tốc, áp suất, xoáy, giờ đây anh ấy viết bằng 'hòa hợp'. Bản thân sự thay đổi cách viết ấy đã là một sự kiện lớn."

Anh ấy dừng lại.

"Bạn có biết trong lịch sử vật lý, những đột phá vĩ đại nhất thường bắt đầu từ việc tái diễn đạt sao? Newton đã dùng vi tích phân để tái diễn đạt cơ học, Maxwell dùng hệ phương trình để tái diễn đạt điện từ học, Einstein dùng hình học Riemann để tái diễn đạt lực hấp dẫn. Mỗi lần tái diễn đạt ấy không đơn giản chỉ là thay đổi cách nói, nó có nghĩa là bạn đã thay đổi cả một cách nhìn nhận vấn đề."

Anh ấy ngẩng đầu, nhìn Giang Minh Viễn.

"Những gì Tiêu Túc đang làm, chính là trao cho cơ học chất lỏng một đôi mắt mới."

Giang Minh Viễn nghe xong, im lặng rất lâu.

Ánh sáng từ cửa sổ rọi vào phòng, rơi trên chiếc bảng trắng có vẽ mấy mũi tên tạo thành vòng tròn, giống như một mặt trời yên tĩnh.

"Thế ngày kia—" Giang Minh Viễn lên tiếng.

"Ngày kia vẫn diễn ra như thường lệ," Cố Thanh Sâm nói, "anh ấy đã hứa thế, sẽ không thay đổi."

Cùng lúc ấy, tòa nhà vật lý.

Phòng làm việc của viện sĩ Chu Trung nằm ở tầng bốn, phía đông nhất, cửa sổ đối diện hồ Vị Danh.

Nhìn từ cửa sổ ra, có thể thấy bóng tháp Bác Nhã phản chiếu trên mặt hồ đang lay động nhẹ, mấy con vịt bên bờ hồ đi đi lại lại, chậm rãi, như thể là những sinh vật vô cùng vô lo trên thế gian này.

Nhưng viện sĩ Chu Trung lúc ấy chẳng hề thảnh thơi chút nào.

Ông ngồi trước bàn làm việc, trước mặt là một chiếc laptop, màn hình hiển thị một bài báo trên arXiv. Ông đeo kính lão, tay phải cầm một cây bút chì, bên trái là một tập giấy nháp đã kín những phép tính dày đặc.

Ông đang kiểm chứng một công thức cốt lõi trong bài luận văn của Tiêu Túc.

Chu Châu nay đã bảy mươi ba tuổi. Ông đã gắn bó với khoa Vật lý suốt gần năm mươi năm, từ trợ giảng thăng lên giáo sư, rồi viện sĩ, mái tóc từ đen chuyển bạc, cặp kính cũng thay biết bao nhiêu lần. Ông là bậc lão thành trong lĩnh vực toán-lý trong nước, chuyên nghiên cứu sự giao thoa giữa lý thuyết trường chuẩn và hình học vi phân, hồi trẻ từng hai năm làm học giả thăm quan tại Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton, và là đồng nghiệp lâu năm của cha của Cố Thanh Trần, cụ Cố Trường Cẩn.

Ông đã gặp không ít những người trẻ tài giỏi.

Nhưng Tiêu Túc lại là một thực thể vượt ngoài mọi khuôn khổ.

Chu Châu cau mày lần đầu nhìn thấy tiêu đề "Xoáy lượng và Hòa: Một bất biến hình học của dòng Navier-Stokes" thì lập tức nhíu mày lại. Hòa, đó là khái niệm quen thuộc của ông. Trong lý thuyết trường chuẩn, hòa mô tả pha tổng cộng mà hàm sóng thu được khi hạt chuyển động dọc theo đường khép kín trong trường chuẩn. Trong thuyết tương đối rộng, hòa mô tả sự thay đổi hướng của véctơ sau khi tịnh tiến song song dọc theo đường khép kín.

Nhưng ông chưa bao giờ nghĩ rằng hòa lại có thể ứng dụng vào cơ học chất lỏng.

Cơ học chất lỏng và hình học vi phân, hai lĩnh vực này bị ngăn cách bởi một vực thẳm sâu sắc. Một bên là phương trình vi phân đạo hàm riêng, mô phỏng số, số Reynolds, dòng chảy rối, lớp biên; bên kia là liên thông, độ cong, bó sợi, lớp đặc trưng. Hai bên học giả nói những ngôn ngữ khác nhau, dùng công cụ khác nhau, quan tâm những vấn đề khác nhau.

Tiêu Túc đã lấp đầy vực thẳm ấy.

Chu Châu cúi đầu xuống, tiếp tục kiểm tra lại phép tính.

Trong chương hai của bài luận, Tiêu Túc đã tiến hành xây dựng như sau. Xét một chất lỏng không nén được trong không gian ba chiều, tại mỗi điểm, sự quay của chất lỏng có thể được mô tả bằng một tenxơ phản đối xứng—đó chính là xoáy lượng. Xoáy lượng có thể xem như một phần tử của đại số Lie SO(3), và SO(3) chính là nhóm quay ba chiều.

Rồi Tiêu Túc xem trường xoáy lượng mang giá trị trong đại số Lie SO(3) như một liên thông trên bó chính. Bó chính là khái niệm trọng tâm trong hình học vi phân. Nói đơn giản, nó mô tả một "không gian cơ sở" mà mỗi điểm lại "mọc" ra một "sợi", những sợi ấy ghép lại tạo thành một cấu trúc toàn thể.

Định nghĩa một liên thông trên bó chính tức là nói cho bạn biết khi di chuyển trên không gian cơ sở, thứ bên trong sợi phải thay đổi ra sao. Tiêu Túc đã xây dựng không gian cơ sở chính là không gian cấu hình của cơ học chất lỏng, tức là vùng không gian ba chiều nơi chất lỏng tồn tại; sợi chính là nhóm quay SO(3), đại diện cho hướng của những phần tử vi mô chất lỏng; còn trường xoáy lượng chính là liên thông trên bó chính ấy.

Bản thân cấu trúc ấy đã đủ đẹp rồi.

Nhưng Tiêu Túc không dừng lại ở đó.

Ông định nghĩa trên bó chính ấy một toán tử hòa. Cho trước một đường dòng khép kín, tức là một vòng khép kín nối đầu cuối trong chất lỏng, tích phân liên thông dọc theo đường ấy sẽ thu được một phép quay trong SO(3). Phép quay ấy chính là hòa.

Tiêu Túc ký hiệu toán tử hòa ấy là H(γ), trong đó γ chính là đường dòng khép kín ấy. Rồi ông chứng minh một công thức cốt lõi:

H(γ)=Pexp(∮_γΩ)

Dòng kia “Pexp” là chỉ số thứ tự đường dẫn, thường thấy trong lý thuyết trường chuẩn. Ω là tenxơ xoáy, trong ngôn ngữ hình học chính là độ cong của liên thông. Công thức này kết nối holonomy dọc theo một đường dòng khép kín với tenxơ xoáy tại mỗi điểm trên dòng đó. Giống như định lý cơ bản của giải tích kết nối giá trị của hàm tại hai đầu đoạn với tích phân đạo hàm của nó trong đoạn ấy. Nhưng Tiếu Túc đã làm nhiều hơn thế. Ông chứng minh rằng toán tử holonomy chính là một bất biến hình học.

Điều đó nghĩa là gì?

Nghĩa là, nếu bạn biến dạng trơn tru trường dòng, không xé rách, không dán nối, miễn là cấu trúc tôpô toàn cục của dòng chất lỏng không đổi, holonomy sẽ không thay đổi. Điều này giống như việc kéo một chiếc nhẫn thành một hình elip, chu vi thay đổi, diện tích thay đổi, nhưng nó vẫn là một chiếc nhẫn, cái lỗ ở giữa vẫn còn. Holonomy nắm bắt chính thông tin rằng cái lỗ ấy vẫn tồn tại.

Khi Chu Trung hiểu đến đây, cây bút chì trên tay anh dừng lại.

Anh nhận ra tầm quan trọng của phương pháp này.