Chương 249: "Đến đây, chứng minh hoàn thành."

Tiểu Long đứng một mình giữa sân khấu mênh mông, trong bóng tối, hàng vạn cặp mắt chằm chằm hướng về phía anh. Lúc này, mọi ánh sáng đều đổ dồn về phía thiếu niên ấy.

"Chào mọi người, tôi là Tiểu Long."

Không hề có lời chào xã giao thừa thãi, không hề có sự chuyển tiếp, Tiểu Long bắt đầu ngay lập tức.

Anh chỉnh micro lên cao hơn, bước về phía chiếc bảng đen nhỏ đã chuẩn bị sẵn, cầm lấy một viên phấn.

"Giả thuyết Goldbach."

Giọng anh trong trẻo, vang vọng trong hội trường yên tĩnh đến mức có cả tiếng vọng lại.

"Bất kỳ số chẵn nào lớn hơn 2 đều có thể được viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố."

Anh giơ tay cầm phấn, từ từ viết định nghĩa ấy lên bảng.

Trên màn hình khổng lồ phía đầu hội trường, những nét chữ sắc sảo, rõ ràng của thiếu niên được chiếu ra, mọi người trong hội trường đều có thể nhìn thấy rõ mồn một.

"Đây có lẽ là mệnh đề dễ hiểu nhất nhưng cũng khó chứng minh nhất trong lịch sử toán học. Chỉ cần ai đó biết thế nào là số chẵn và số nguyên tố, họ sẽ hiểu mệnh đề này nói gì. Nhưng kể từ năm 1742, khi Goldbach viết mệnh đề này trong bức thư gửi Euler, hơn hai trăm tám mươi năm trôi qua, biết bao thế hệ nhà toán học đã dồn hết tâm huyết cả đời cho nó, thế nhưng vẫn chưa ai có thể đi đến bước cuối cùng."

"Nhưng hôm nay, tôi nghĩ chúng ta có thể chấm dứt điều đó."

Lời ấy vừa thốt ra, đám đông vốn yên lặng bỗng như cùng hít thở một hơi lạnh.

Quá tự phụ.

Nhưng Tiểu Long chỉ đang trình bày một sự thật.

"Chứng minh giả thuyết Goldbach, cốt lõi là phải giải quyết vấn đề phân bố của số nguyên tố. Nói cách khác, chúng ta phải tìm hiểu xem số nguyên tố được sắp xếp như thế nào trong tập hợp các số tự nhiên. Liệu có một quy luật tiềm ẩn nào khiến chúng ta có thể khẳng định rằng bất kỳ số chẵn đủ lớn nào cũng có thể phân tích thành tổng của hai số nguyên tố hay không."

Anh vẽ một đường thẳng trên bảng, tượng trưng cho tập hợp các số tự nhiên, rồi rải rác trên đó vài dấu chấm, tượng trưng cho số nguyên tố.

"Sự phân bố của số nguyên tố trong tập hợp các số tự nhiên có vẻ ngẫu nhiên, 2, 3, 5, 7, 11, 13... Bạn không thể dùng một công thức đơn giản nào để dự đoán vị trí của số nguyên tố tiếp theo. Nhưng khi con số đủ lớn, sự phân bố của số nguyên tố sẽ thể hiện một quy luật thống kê ở quy mô lớn. Đó chính là điều mà định lý số nguyên tố đã nói với chúng ta: số lượng số nguyên tố không vượt quá x xấp xỉ bằng x chia cho logarit tự nhiên của x."

Anh viết lên bảng biểu thức xấp xỉ của định lý số nguyên tố: π(x) ~ x/logx.

"Quy luật này rất quan trọng, nhưng nó chưa đủ chính xác. Để chứng minh giả thuyết Goldbach, chúng ta không cần 'xấp xỉ', mà cần 'chắc chắn'. Chúng ta cần một công cụ có thể sàng lọc chính xác số nguyên tố ra khỏi hợp số trong tập hợp các số tự nhiên, và quan trọng hơn, sau khi sàng lọc xong, những số nguyên tố còn lại phải đủ nhiều, đủ để bao phủ tất cả các số chẵn."

"Công cụ ấy, chính là phương pháp sàng."

“Ý tưởng của phương pháp sàng rất đơn giản. Nếu bạn muốn tìm tất cả các số nguyên tố trong một phạm vi nhất định, bạn có thể loại bỏ tất cả các số chia hết cho 2, rồi loại bỏ tất cả các số chia hết cho 3, cứ như vậy tiếp tục. Cuối cùng, những số còn lại chính là số nguyên tố.” Anh quay người lại, viết một biểu thức tổng lên bảng đen.

“Diễn đạt bằng ngôn ngữ toán học, cốt lõi của phương pháp sàng nằm ở phép lấy tổng hàm Möbius μ(d). Với bất kỳ tập hợp số nguyên A cho trước, hàm sàng S(A,z) biểu thị số phần tử trong A mà mọi thừa số nguyên tố đều lớn hơn z. Dùng phương pháp sàng Legendre, ta có thể viết S(A,z) bằng ∑_{d|P(z)}μ(d)·|A_d|, trong đó P(z) là tích của tất cả các số nguyên tố không vượt quá z, còn A_d là tập hợp con của A gồm các số chia hết cho d.”

Phấn trắng trên bảng đen lướt nhanh.

“Nhưng vấn đề nằm ở chỗ, trong biểu thức tổng này, các số hạng sai số sẽ nhanh chóng mất kiểm soát khi z tăng lên. Vào năm 1920, Brun đã đề xuất một sửa đổi khéo léo: thay vì dùng trực tiếp μ(d), ông sử dụng một cặp dãy giới hạn trên dưới được lựa chọn tỉ mỉ để xấp xỉ μ(d). Sau đó, Selberg còn cải tiến phương pháp này hơn nữa bằng cách dùng tối ưu hóa dạng toàn phương để cực tiểu hóa sai số. Cụ Trần Cảnh Nhân đã đưa kỹ thuật này lên đến đỉnh cao, chứng minh được rằng mọi số chẵn đủ lớn đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một số nguyên tố và một số có không quá hai thừa số nguyên tố.”

“Tuy nhiên, vấn đề chẵn lẻ vẫn luôn là bức tường thành mà phương pháp sàng không thể vượt qua.”

Dưới khán đài, Hoàng Kiến Á có gật nhẹ đầu.

Ông đã nghiên cứu giải tích số suốt đời, quá hiểu nỗi khó khăn trong bước vượt qua bức tường của cụ Trần.

“Bản chất của vấn đề chẵn lẻ là gì? Khi dùng phương pháp sàng để ước tính số lượng số nguyên tố trong một tập hợp, phương pháp sàng không thể phân biệt được một số có số thừa số nguyên tố là chẵn hay lẻ. Nói cách khác, nếu một số chính là tích của hai số nguyên tố khác nhau, phương pháp sàng sẽ nhầm lẫn nó với số nguyên tố thực sự. Sự nhầm lẫn này, trong những bài toán như giả thuyết Goldbach cần phân biệt chính xác ‘1+1’, sẽ trở thành một khuyết điểm chí mạng.”

“Vì vậy, nếu chỉ dùng phương pháp sàng, bài toán này là không thể giải quyết.”

Tiêu Tú dừng lại, nhặt viên phấn lên, vẽ một vòng tròn ở phía bên kia bảng.

“Còn một công cụ khác, phương pháp vòng tròn, lại đi theo một con đường hoàn toàn khác biệt.”

“Ý tưởng cốt lõi của phương pháp vòng tròn là chuyển đổi bài toán cộng rời rạc thành tích phân trong không gian liên tục. Giả sử R(n) là số cách biểu diễn số chẵn n dưới dạng tổng của hai số nguyên tố, thì theo đẳng thức cơ bản của phương pháp vòng tròn, R(n) có thể biểu diễn dưới dạng ∫_0^1S(α)^2·e(-nα)dα, trong đó S(α) là tổng mũ ∑_{p≤n}e(pα), còn e(x) chính là e^{2πix}.”

Anh viết biểu thức tích phân đó lên bảng.

“Điểm tinh tế của tích phân này nằm ở chỗ, khi α tiến gần đến số hữu tỉ a/q, tức là vùng ‘cung chính’, hành vi của S(α) có thể được ước tính chính xác nhờ định lý số nguyên tố. Còn khi α xa rời số hữu tỉ, tức là vùng ‘cung phụ’, đóng góp của S(α) rất nhỏ. Nếu chúng ta có thể chứng minh được rằng tích phân trên cung chính đủ lớn, còn tích phân trên cung phụ nhỏ đến mức có thể bỏ qua, thì giả thuyết Goldbach sẽ được chứng minh.”

“Vinogradov đã dùng phương pháp này để chứng minh định lý ba số nguyên tố, tức là mọi số lẻ đủ lớn đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba số nguyên tố. Nhưng phương pháp của ông lại thất bại trong trường hợp số chẵn, bởi vì bài toán Goldbach cho số chẵn liên quan đến tổng của hai số nguyên tố, sự cạnh tranh giữa số hạng chính và số hạng dư còn gay gắt hơn nhiều so với trường hợp ba số nguyên tố.”

Vì vậy, độ chính xác của ước lượng phần dư phải được kiểm soát ở mức nhỏ hơn cấp o, còn các phương pháp truyền thống ở mức độ chính xác này sẽ sụp đổ ngay lập tức.” Ông viết hai từ “Sàng pháp” và “Viên pháp” ở hai đầu đường tròn.

“Sàng pháp giỏi chi tiết nhưng thiếu tầm nhìn toàn diện. Viên pháp giỏi toàn diện nhưng lại kém chính xác ở chi tiết. Hai phương pháp này đều mạnh mẽ nhưng đều có điểm yếu chí mạng.”

“Từ lâu, các nhà toán học vẫn mong muốn kết hợp chúng lại: dùng khung toàn diện của Viên pháp để kiểm soát phương hướng lớn, dùng kỹ thuật tinh tế của Sàng pháp để xử lý chi tiết cục bộ.”

Ông vẽ một cung cong nối giữa “Sàng pháp” và “Viên pháp”.

“Nhưng con đường này không thể đi được.”

Dưới khán đài, có người khẽ thốt lên “À”.

Tiêu Tú tiếp tục nói: “Bởi Sàng pháp sử dụng ngôn ngữ của tích chập Möbius, còn Viên pháp sử dụng ngôn ngữ của tổng mũ và tích phân. Giữa chúng không có bộ dịch tự nhiên.”

“Vậy, có thể chế tạo một bộ dịch cho hai hệ ngôn ngữ này không?”

Dưới khán đài, Deligne ngay lập tức ngồi thẳng người lên. Lông mày của Schultz nhíu nhẹ.

Họ biết, điểm quan trọng sắp đến rồi.

Tiêu Tú cầm phấn viết một định nghĩa ngắn gọn lên bảng đen nhỏ.

“Trong quá trình nghiên cứu giả thuyết song sinh tố, tôi phát hiện ra một hiện tượng thú vị. Đó là khi tôi khai triển bất biến tính toán đồng điều Floer trong dòng chảy Gouxin theo một cách đặc biệt, cấu trúc của các hạng khai triển lại giống hệt dạng khai triển tiệm cận của nhân tích phân trong Viên pháp quanh điểm yên ngựa.”

Ông viết tiếp hai dòng công thức lên bảng.

Bên trái là hạng khai triển của đồng điều Floer: ∑_{k}C_k·(logN)^{-k}.

Bên phải là hạng khai triển tiệm cận của nhân tích phân trong Viên pháp quanh điểm yên ngựa: ∑_{k}D_k·(logN)^{-k}.

“Đây không phải ngẫu nhiên. Nó chứng tỏ giữa Sàng pháp và Viên pháp tồn tại một mối tương ứng sâu sắc hơn.”

“Nếu dạng khai triển giống nhau, vậy cấu trúc trước khi khai triển có giống nhau không? Nếu biến đổi hạng mục của Sàng pháp qua một ánh xạ nào đó vào không gian làm việc của Viên pháp, liệu ánh xạ đó có thể là một biến đổi đối ngẫu?”

Ông viết lên bảng: Biến đổi đối ngẫu T.

“Cụ thể hơn, nếu tôi định nghĩa một biến đổi T, biến đổi tích chập Möbius trong Sàng pháp thành tích phân chu tuyến trên mặt phẳng phức, thì C_k và D_k thỏa mãn D_k=T(C_k).”

“Biến đổi T này chính là thứ tôi gọi là biến đổi Fourier-Mikushin. Nó ánh xạ phép toán trên trường số nguyên của Sàng pháp thành phép toán trên đường tròn đơn vị của mặt phẳng phức trong Viên pháp.”

Ngược lại, biến đổi ngược T^{-1} của nó chuyển đổi những tổng mũ và tích phân trong phương pháp vòng tròn trở về hàm sàng trong phương pháp sàng." Chiếc phấn trên bảng đen của anh ta lướt nhanh, viết ra định nghĩa của phép biến đổi. "Định nghĩa cụ thể của T nên là như sau: đối với hàm sàng F(s), biến đổi Fourier-Mellin tương ứng Ḟ(z) = ∑_{n} F(n)·n^{-z} chính là một chuỗi Dirichlet được định nghĩa trên mặt phẳng phức. Chuỗi này hội tụ khi Re(z) > 1, và có thể thác triển ánh xạ chỉnh hình ra toàn bộ mặt phẳng phức. Phân bố cực điểm của nó tương ứng chính xác với những thông tin then chốt về sự phân bố của số nguyên tố."

Dưới khán đài, Terence Tao ngẩng đầu khỏi cuốn sổ ghi chép, đôi mắt sáng rực nhìn chằm chằm vào chàng trai trên bục giảng. Deligne thì thầm với Scholtz điều gì đó, Scholtz gật đầu, ánh mắt không rời khỏi bảng đen.

"Nhờ có biến đổi này, phương pháp sàng và phương pháp vòng tròn không còn là hai ngôn ngữ bất tương dung nữa. Dưới tác động của biến đổi T, sai số trong phương pháp sàng được phân bổ lại vào đường tích phân của phương pháp vòng tròn. Còn đường tích phân của phương pháp vòng tròn, ta hoàn toàn có thể tự do lựa chọn."

"Đó chính là cốt lõi của phương pháp sàng phân tầng và phương pháp vòng tròn điểm yên ngựa."

Anh ta vẽ trên bảng đen một đường cong quanh co.

"Phương pháp sàng phân tầng chia các số nguyên tố theo thang đo lô-ga-rít thành nhiều tầng. Mỗi tầng chỉ xử lý những thông tin ở một thang đo nhất định. Cụ thể hơn, đối với các số nguyên tố không vượt quá N, ta chia chúng thành J tầng theo kích thước của (log n), tầng thứ j chứa các số nguyên tố p thỏa mãn 2^{j} ≤ log p < 2^{j+1}. Bên trong mỗi tầng, sai số của hàm sàng có thể được kiểm soát độc lập, sai số giữa các tầng khác nhau không bị nhiễu loạn chéo."

"Sau đó, kết quả sàng của mỗi tầng được ánh xạ qua biến đổi Fourier-Mellin vào mặt phẳng phức, trở thành một tích phân đường viền. Đường tích phân này không cố định, ta có thể lựa chọn nó. Nếu ta chọn đường tích phân đi qua đường cong hạ nhanh nhất, tức là hướng dốc nhất gần điểm yên ngựa, thì hạng mục chính của tích phân sẽ do đóng góp tại điểm yên ngựa quyết định, còn hạng mục dư sẽ suy giảm theo tốc độ hàm mũ khi tham số N tăng lên."

Anh ta viết lên bảng đen biểu thức ước lượng tích phân điểm yên ngựa.

"Điểm yên ngựa được xác định bởi phương trình d/dz(logḞ(z) - z·logN) = 0. Trên đường cong hạ nhanh nhất, đóng góp hạng mục chính của tích phân là (2π/|Ḟ″(z₀)|)^{1/2}·Ḟ(z₀)·N^{z₀}·(1+O(1/logN)), còn hạng mục dư bị khống chế ở mức O(N^{Re(z₀)}·exp(-c·(logN)^{1/2})), mức độ này nhỏ hơn hạng mục chính rất nhiều."

"Giờ đây, độ chính xác của phương pháp sàng và tính linh hoạt của phương pháp vòng tròn đã được nối kết thông qua biến đổi Fourier-Mellin. Phương pháp sàng cung cấp độ chính xác phân tầng, phương pháp vòng tròn cung cấp ước lượng toàn cục, biến đổi đối ngẫu đã xóa bỏ rào cản ngôn ngữ giữa hai phương pháp. Cuối cùng, số biểu diễn R(n) của giả thuyết Goldbach có thể được biểu thị bằng một hạng mục chính cộng với một hạng mục dư có thể kiểm soát được."

Anh ta viết lên bảng đen biểu thức cuối cùng.

R(n) = (n)·n/(log n)^2 + O(n/(log n)^3), trong đó (n) là dãy kỳ dị, được định nghĩa là ∏_{p|n} (1 - 1/(p-1)^2) · ∏_{p∤n} (1 + 1/(p-1)^2), tích lấy trên tất cả các số nguyên tố p. Dãy kỳ dị này có thể tính toán cụ thể, và đối với số chẵn n, nó luôn lớn hơn một hằng số dương tuyệt đối. Viết xong, chiếc phấn trong tay anh ta cũng sắp hết.

"Sau khi ước lượng cận dưới của số biểu diễn R(n) được đưa ra, vấn đề cuối cùng quy về: chứng minh một bất biến hình học không bằng không."

Cái này bất biến hình học vốn bắt nguồn từ một chỉ số tô pô nào đó trong nhóm đồng điều Floer. Nói chính xác hơn, tôi đã xây dựng trên đa tạp Gousin một đa tạp con Lagrange tương ứng với sự phân bố của các số nguyên tố, tính nhóm đồng điều Floer của nó, rồi phát hiện thấy hạng của nhóm này vừa vặn bằng giá trị của dãy số kỳ dị S(n) trong một giới hạn đặc biệt.

Còn chỉ số tô pô ấy của nhóm đồng điều Floer, tôi đã chứng minh trong bài báo năm ngoái về giả thuyết song sinh tố rằng nó không thể nào bằng không.

Ông quay người lại, dùng nốt viên phấn cuối cùng viết lên bảng dòng cuối cùng.

Tóm lại, với mọi số chẵn n lớn hơn 2, ta có R(n) ≥ C·n/(log n)² > 0, trong đó C là một hằng số dương có thể tính toán cụ thể. Như vậy, giả thuyết Goldbach đã được chứng minh.

Chiếc phấn rơi, viên phấn cuối cùng cũng đã hết. Ông vỗ tay rồi quay về phía hơn mười ngàn người dưới khán đài.

Ánh đèn sân khấu đổ xuống bóng dáng gầy gò của ông, in bóng ông lên bảng đen đầy công thức.

“Đến đây, chứng minh đã hoàn tất.”