Chương 264: Bài tập sau giờ học

Shao Siu nghĩ ngẫm vài giây, rồi viết lên bảng trắng một hàm tốc độ I(f), bên cạnh đó là một điều kiện biến phân.

"Dạng của hàm tốc độ quả thực phụ thuộc vào sự lựa chọn của độ đo, nhưng điều mà vật lý quan tâm không phải là bản thân hàm tốc độ ấy, mà là đạo hàm cấp hai của nó quanh điểm yên ngựa. Và đạo hàm cấp hai ấy lại không phụ thuộc vào độ đo." Ông vẽ một dấu bằng bên cạnh điều kiện biến phân, "Chỉ cần không gian Banach thỏa mãn tính nhúng ổn định, toán tử Hessian tại điểm yên ngựa sẽ có cùng quang phổ dưới mọi độ đo tương đương. Mà từ quy luật vật lý, ta có thể kết luận rằng quang phổ dao động quanh điểm yên ngựa là duy nhất. Độ đo tự do chỉ ảnh hưởng đến phân bố đuôi xa khỏi điểm yên ngựa, chứ không tác động đến phần đóng góp chủ đạo quanh điểm ấy."

Peng Yuan-zheng nhìn chằm chằm vào dòng điều kiện biến phân, rồi từ từ gật đầu:

"Nếu đạo hàm cấp hai không phụ thuộc vào độ đo, vậy thì bản thân hàm tốc độ lệch lớn tuy khác nhau, nhưng sự khai triển cục bộ quanh điểm yên ngựa của chúng lại giống nhau? Tính chất này trong xấp xỉ điểm yên ngựa hữu hạn chiều là hiển nhiên, nhưng trong không gian Banach vô hạn chiều, có lẽ cần thêm điều kiện nữa, tính nhúng ổn định có đủ không?"

"Không đủ, còn phải thỏa mãn điều kiện toán tử Hessian là loại vết nữa." Shao Siu viết thêm một dòng dưới điều kiện biến phân, "Điều kiện loại vết đảm bảo rằng định thức Fredholm của đạo hàm cấp hai hội tụ, sự hội tụ này giữ nguyên dưới mọi độ đo tương đương, trong vật lý tương ứng với hệ số chuẩn hóa của dao động quanh điểm yên ngựa là duy nhất."

Peng Yuan-zheng xem xong, đôi mày nhíu lại bỗng dãn ra, trong lòng như gỡ được mối tơ vò.

Tính chất Radon-Nikodym lựa chọn độ đo, điều kiện loại vết khóa chặt đạo hàm cấp hai, tính nhúng ổn định đảm bảo tính duy nhất của quang phổ—ba điều kiện ấy đã lấp đầy hoàn toàn khoảng trống mơ hồ về sự phụ thuộc độ đo trong phép suy luận trước đây của anh. Anh ngả người ra sau, lưng ghế kêu lạo xạo nhẹ, môi động đậy nhưng không nói nên lời, còn Lý Vĩ Lượng bên cạnh đã thấy anh nhanh chóng ghi chép gì đó vào cuốn sổ tay.

Anh vừa định nói gì đó với Peng Yuan-zheng thì bên kia, Triệu Duy Nhân lại lên tiếng.

"Thưa giáo sư Tiểu, tôi là Triệu Duy Nhân, nghiên cứu vật lý lý thuyết năng lượng cao. Lần cộng tác trước của thầy với Viện Năng lượng cao, khi dùng phạm trù tensor để mô hình cơ chế bảo vệ pha tô-pô, cách tiếp cận ấy tôi đọc xong suốt mấy tháng trời vẫn đang tìm cách mở rộng sang hệ điện tử tương quan mạnh. Pha giả khe trong vật liệu siêu dẫn oxit đồng, trật tự tô-pô của nó đến nay vẫn chưa có miêu tả toán học hoàn chỉnh, phòng thí nghiệm chúng tôi có vài ý tưởng. Nhưng nghe thầy vừa trao đổi với thầy Bành về phép ước lượng điểm yên ngựa, tôi chợt nảy ra một trở ngại liên quan."

Triệu Duy Nhân đứng dậy, bước đến trước bảng trắng, chấm nhẹ vào dòng điều kiện loại vết mà Shao Siu vừa viết:

"Pha giả khe có lý thuyết hiệu dụng năng lượng thấp, cấu trúc điểm yên ngựa trong hàm phân bố chính là vô hạn chiều. Nếu đem hàm phân bố đặt trong không gian Banach để khai triển điểm yên ngựa, vậy điều kiện loại vết có trực tiếp ràng buộc cấu trúc tô-pô của quang phổ kích thích năng lượng thấp không? Nói cách khác, liệu chỉ có những mode kích thích năng lượng thấp thỏa mãn điều kiện loại vết mới có thể đóng góp vào trật tự tô-pô?"

Câu hỏi vừa dứt, Peng Yuan-zheng ngẩng đầu lên trước, Cúc Tri Tri cũng đặt bút xuống.

Triệu Duy Nhân không lặp lại những gì vừa thảo luận, ông ấy đang nối kết hai công cụ tưởng chừng chẳng liên quan: phép ước lượng điểm yên ngựa Banach và phạm trù tensor.

Mọi người đều nhìn chằm chằm vào Shao Siu, tò mò ông ấy sẽ trả lời thế nào.

"Có thể ghép nối." Shao Siu gần như không suy nghĩ, ông ấy vẽ hai vòng tròn trên bảng, một vòng ghi "Khai triển điểm yên ngựa Banach", một vòng ghi "Phạm trù tensor", rồi vẽ một đường nối giữa chúng.

"Sau khi hàm phân bố của pha giả khe khai triển điểm yên ngựa Banach, các mode dao động quanh điểm yên ngựa theo quang phổ của toán tử Hessian chia thành hai nhóm: mode loại vết tương ứng với kích thích năng lượng thấp của trật tự tô-pô, mode không loại vết tương ứng với dao động phá đối xứng năng lượng cao. Phần kích thích bất tử được mô tả bởi phạm trù tensor, chính là biểu diễn ở cấp độ phạm trù của mode loại vết ấy."

Cúc tri thức hành không kiềm được mở lời:

— Giáo sư Tiêu, nếu mô hình vết và phạm trù tenxơ của bất kì tử tương ứng một-một, vậy những mô hình phi vết trong phạm trù luận biểu diễn thế nào? Phạm trù cosin?

— Đúng vậy, những siêu tuyển lựa của mô hình phi vết cấu thành một phạm trù cosin. Quy tắc hợp nhất của nó hoàn toàn khác với phạm trù tenxơ của mô hình vết. Hai bên được nối với nhau bởi một hàm tử hai phạm trù, những biến đổi tự nhiên của hàm tử này mô tả sự ghép cặp giữa trật tự tôpô và trật tự phá vỡ đối xứng.

Nói xong, Tiêu túy lại viết thêm hai đường trên bảng trắng, nối hai vòng tròn cũ với một hàm tử hai phạm trù mới viết.

Triệu duy nhân đứng trước bảng, ánh mắt quét từ phạm trù tenxơ sang điều kiện vết, rồi lại từ điều kiện vết sang hàm tử hai phạm trù.

Khi ấy, anh từng xây dựng mô hình oxit đồng, luôn tách trật tự tôpô và trật tự phá vỡ đối xứng ra tính riêng, sau đó ghép kết quả lại. Nhưng lúc nào kết quả cũng có những hạng tử giao thoa không khớp.

Anh mãi không tìm ra nguyên nhân, giờ mới hiểu ra: hai trật tự ấy không phải ghép lại với nhau, chúng chính là hai siêu tuyển lựa khác nhau của cùng một cấu trúc hai phạm trù. Những hạng tử giao thoa ấy vốn dĩ đã là những biến đổi tự nhiên của hàm tử.

— Thế nên cái đuôi điện trở lạ lùng trong khe năng lượng giả kia… giọng Triệu duy nhân khô khan hẳn đi, liệu nó chính là hình chiếu của biến đổi tự nhiên hàm tử lên hệ số vận chuyển?

Tiêu túy quay đầu nhìn anh, không đáp.

Câu trả lời đã rõ rành rành.

Triệu duy nhân sững sờ mấy giây, mới nhận ra mình vừa hỏi một câu vớ vẩn, vội quay về chỗ ngồi, cúi đầu ghi chép cuồng cuồng.

Sau lưng anh, mấy vị giáo sư khác nhìn anh đầy ngưỡng mộ.

Cái đồ… chỉ thiếu bỏ kết quả thí nghiệm vào miệng là xong!

Trong đám sinh viên đứng cửa, có người thì thào:

— Câu hỏi của giáo sư Triệu vừa rồi, tôi nghe còn chẳng hiểu đề!

Người bên cạnh, một nghiên cứu sinh khác tiếp lời:

— Ai mà nghe hiểu chứ! Nghe thế thôi, cậu có thấy không, ánh mắt giáo sư Tiêu vừa nhìn giáo sư Triệu kìa, như thể nói: “Anh đã đẩy tới đây rồi, còn cần tôi nói làm gì?”

…

Lục kì đứng ngoài cùng đám đông, không tham gia những cuộc bàn tán ấy.

Anh lật sang trang mới trong sổ tay, nhanh chóng chép lại mấy vòng tròn cùng những đường nối trên bảng. Tại vị trí hàm tử hai phạm trù, anh vẽ một ngôi sao thật đậm.

Đây là điều thần Tiêu vừa nói đấy! Chắc chắn là điểm trọng yếu!

Ngay sau đó, một giáo sư khác đứng lên:

— Giáo sư Tiêu, tôi là Tần dã, nghiên cứu quang học lượng tử. Mấy năm nay tôi vẫn đang vật lộn với bài toán phân loại trạng thái vướng víu đa hạt. Vừa nãy giáo sư nói về sự tương ứng giữa mô hình vết trong không gian Banach và phạm trù tenxơ, tôi có ý tưởng thế này…

Anh lật sổ tay, chỉ vào dòng có ngôi sao góc trang:

— Những lớp tương đương của trạng thái vướng víu dưới phép biến đổi unita cục bộ, theo ngôn ngữ phạm trù tenxơ, chính là những biểu diễn bất khả quy. Nếu coi không gian cấu trúc của trạng thái vướng víu đa hạt như một đa tạp symplectic, cấu trúc symplectic của nó do metric Fubini-Study của trạng thái lượng tử cho ra, phép biến đổi unita cục bộ chính là tác động của nhóm Lie compact lên đa tạp symplectic ấy. Theo khuôn khổ hình học symplectic thống nhất của giáo sư, những bất biến dưới tác động nhóm ấy có thể thu được bằng cách tính đồng điều Floer.

Anh lật sang trang sau, chỉ vào một sơ đồ thô sơ:

— Nhưng phân loại trạng thái vướng víu phức tạp hơn phân loại tác động nhóm trên đa tạp symplectic thông thường. Khi tổng số hạt bằng N, nhóm biến đổi unita cục bộ chính là tích trực tiếp của nhiều SU(d), nhóm này không liên thông đơn, cấu trúc nhóm cơ bản của nó sẽ khiến cho việc tính đồng điều Floer xuất hiện thêm những thành phần xoắn phụ. Vậy những thành phần xoắn ấy xử lí thế nào?

Tiêu túy gật đầu:

— Cách xử lí những thành phần xoắn cũng giống như cách vừa xử lí những kỳ dị. Không gian quỹ đạo do phép biến đổi unita cục bộ mang lại có những điểm kỳ dị gần trạng thái tách được. Hãy tách những quỹ đạo kỳ dị ấy ra biên, gán cho biên một điều kiện đồng điều chuẩn hóa, đồng điều Floer sẽ được định nghĩa, cùng tư tưởng với câu hỏi về tiệt ảnh biên của giáo sư Tôn vừa rồi.

Tần dã sững người giây lát, nhanh chóng vạch vài nét trong sổ, rồi ngẩng lên hỏi tiếp:

— Thế còn cấu trúc phân cấp của trạng thái vướng víu đa hạt? Giữa những biểu diễn bất khả quy của trạng thái vướng víu ba hạt và bốn hạt có mối quan hệ nhúng vào nhau không?

— Có. Cấu trúc phân cấp của trạng thái vướng víu đa hạt tương ứng với đồ thị hợp nhất trong phạm trù tenxơ. Mỗi bất biến vướng víu n hạt tương ứng với một đỉnh không tầm thường trong đồ thị hợp nhất. Mối quan hệ nhúng giữa các cấp độ khác nhau do tử hợp nhất của quy tắc hợp nhất mang lại.

Tần dã mắt sáng lên, nhanh chóng ghi chép lại những gì Tiêu túy vừa trả lời.

Bên cạnh, Cúc tri thức hành ghé vào tai Lâm sùng xuyên:

— Lão Lâm, nếu tư tưởng của Tần dã thành công, bài toán phân loại vướng víu lượng tử bên quang học lượng tử có thể giải quyết ngay!

Lâm Sùng Uyên gật đầu: “Không chỉ lượng tử quang học, nếu ‘hợp dung đồ’ có thể mô tả cấu trúc tầng bậc trạng thái vướng víu, thì vài bài toán công khai trong thông tin lượng tử có thể được diễn giải và giải quyết lại.”

Hai người bất giác cùng gật đầu, đều nhìn thấy trong mắt nhau niềm ngưỡng mộ.

Sau đó vài vị giáo sư khác đứng lên phát biểu, nhưng những câu hỏi đưa ra càng lúc càng lạc đề. Có người hỏi về phương pháp khớp dữ liệu thí nghiệm cụ thể, có người hỏi về tối ưu lưới trong mô phỏng số, thậm chí có người chỉ xác nhận phạm vi giá trị tham số của một công thức trong bài luận văn… Tất cả đều là những vấn đề cấp độ bài tập sau giờ học.

Đối mặt với những câu hỏi như vậy, lời đáp của Tiêu Tú càng lúc càng ngắn gọn.

“Có thể.”

“Không được.”

“Cái này tôi đã viết trong bài luận rồi.”

Mỗi câu đều ẩn chứa sự chán ngán rõ rệt.

Trong nhóm sinh viên đứng cửa, lại có người thì thầm: “Thầy Tiêu có vẻ hơi mất kiên nhẫn rồi nhỉ?”

Trương Nhu thấp giọng đáp: “Nếu đổi thành cậu, bị người ta hỏi bài tập sau giờ học suốt hai mươi phút, cậu cũng phát chán thôi.”

Ngay lúc đó, ở vị trí cạnh cửa sổ hàng ghế thứ hai, một nữ giáo sư ngoài năm mươi đứng dậy.

“Thầy Tiêu, chào thầy. Tôi là Diêm Thục Thanh, nghiên cứu lý thuyết trạng thái ngưng tụ. Hiện tại tôi đang nghiên cứu về sự định xứ đa thể trong hệ vô trật tự. Chúng tôi đã nghiên cứu một mô hình, nhưng tôi tính toán suốt ba năm trời, cấu trúc trạng thái kích thích thấp vẫn không thể giải chính xác. Lý thuyết nhiễu loạn không đưa ra kết quả hội tụ, phép chéo hóa chính xác cũng chỉ tính được đến kích thước rất nhỏ, càng mở rộng thì gặp phải ‘tường mũ hàm mũ’.”

“Hôm nay tôi muốn trao đổi với thầy, xem có hướng suy nghĩ mới nào không.”