Chương 230: Vấn đề số 228 của Erdős

Câu nói ấy vừa thoát ra khỏi miệng anh ta, trong phòng thí nghiệm, vài người đã khẽ đổi sắc mặt. Hứa Minh ngẩng đầu từ góc phòng, đẩy kính lên.

Hà Hồng Hồ cũng khẽ chau mày, nhưng không nói gì.

Paul Erdős có thể nói là một trong những nhà toán học huyền thoại nhất của thế kỷ hai mươi. Người đàn ông này suốt đời chẳng mua nổi một căn nhà, chẳng có công việc cố định, chỉ mang theo một chiếc vali cũ rách chạy khắp thế giới, hôm nay ngủ nhờ nhà toán học này, mai lại ngủ nhờ nhà toán học kia.

Ông từng gõ cửa vô số học giả bằng một câu: "Hôm nay trí óc tôi hoạt động tốt", rồi hợp tác với họ, thậm chí còn phát hiện ra được Tào Triết Hoành từ khi cậu bé còn rất trẻ.

Suốt đời ông công bố hơn một nghìn năm trăm bài luận văn, cộng tác với hơn năm trăm nhà toán học.

Giới toán học có một trò đùa nổi tiếng gọi là số Erdős. Bản thân Erdős có số Erdős là 0, người trực tiếp cộng tác với ông là 1, người cộng tác với người có số Erdős là 1 thì có số Erdős là 2, cứ thế mà tiếp tục.

Người ta đồn rằng trên toàn thế giới, những nhà toán học có số Erdős vượt quá 5 đều bị coi là người ngoài lề giới.

Hơn thế nữa, ông còn có một thói quen khá nổi tiếng, đó là thích đặt ra những câu hỏi rồi treo giải thưởng. Ông cho rằng câu hỏi ấy đáng giá bao nhiêu, thì lập tức rút ra từng ấy tiền để treo giải.

Từ hai mươi lăm đô la cho tới mười ngàn đô la đều có. Suốt đời ông đã đặt ra khoảng hơn một ngàn câu hỏi, liên quan tới lý thuyết số, tổ hợp toán học, lý thuyết đồ thị, giải tích... gần như bao trùm mọi ngóc ngách của toán học thuần túy.

Những câu hỏi ấy, có cái đã được giải quyết, có cái tới nay vẫn còn bỏ ngỏ, tạo thành một kho tàng vấn đề nổi tiếng của Erdős. Đa phần những vấn đề ấy được trình bày ngắn gọn như một câu đố, nhưng để chứng minh chúng, ngay cả những nhà toán học hàng đầu cũng phải dốc hết nửa đời mình.

Lần này, Trần Lâm nhắc tới tin tức ấy, thực ra chẳng phải là một đột phá kinh thiên động địa gì. Vào một ngày nọ, Boris Alekseyev, tiến sĩ toán học Princeton thường bị giới truyền thông gọi là "đệ tử của Tào Triết Hoành", tuyên bố rằng ông đã sử dụng một hệ thống AI tên "Aristotle", trong điều kiện hoàn toàn không có sự can thiệp của con người, chỉ mất sáu tiếng đồng hồ đã giải quyết được "Vấn đề số 124 của Erdős".

Và gần như cùng lúc ấy, một công ty khởi nghiệp tên "AxiomMath" cũng tuyên bố rằng AI của họ đã độc lập hoàn thành chứng minh cho cùng một vấn đề.

Khi hai tin tức ấy vừa lan ra, sự chấn động quả thật vô cùng lớn. Một bài toán mà vô số nhà toán học chưa giải được, nay AI đã giải được ư? Đó chẳng phải là sự sỉ nhục đối với trí tuệ con người hay sao?

Thế nên vô số phương tiện truyền thông đã thổi bùng ngọn lửa, nhân cơ hội tung ra những tiêu đề giật gân như "AI đã vượt qua các nhà toán học con người", "đệ tử của Tào Triết Hoành đã bị máy móc đánh bại", đẩy tin tức ấy lên đỉnh điểm.

Trên các nền tảng mạng xã hội, từ người hiểu toán cho tới kẻ không hiểu toán đều theo nhau hò reo, như thể pháo đài cuối cùng của lý tính con người đã sụp đổ.

Tuy nhiên, khi cơn sốt tạm lắng xuống, các nhà toán học xem xét kỹ lưỡng thành quả của AI, họ mới phát hiện ra sự thật hoàn toàn không phải vậy.

Cái vấn đề số 124 vốn bị AI "giải quyết" ấy, thực ra đã được giải từ rất lâu trong những tài liệu cũ, chỉ là trên trang web vẫn ghi sai là "chưa giải quyết". Còn AI làm được, giống như một công cụ tìm kiếm tài liệu cực kỳ hiệu quả, chỉ đơn thuần đào bới ra kho báu bị lãng quên từ vô số luận văn mà thôi.

Tào Triết Hoành sau đó cũng đã lên tiếng làm rõ. Ông nói rằng, những vấn đề của Erdős hiện nay bị AI giải quyết, đa phần đều là những "quả thấp dễ hái", chỉ cần dùng công cụ tiêu chuẩn là xong. Những bài toán cốt lõi thực sự, AI vẫn còn xa mới chạm tới.

Vì thế, khi Trần Lâm nhẹ nhàng gợi ra Bài toán Erdős, mọi người trong phòng đều cảm thấy lo lắng trong lòng. Họ đương nhiên tin vào sức mạnh của Tiểu Trí, tin chắc khả năng hiểu biết của nó vượt trội hơn bất kỳ AI nào hiện nay. Nhưng họ cũng biết, vai trò mà AI từng đảm nhận giống như một trợ lý nghiên cứu không biết mệt mỏi hơn là một nhà toán học sáng tạo thực sự. Tiểu Trí chỉ mạnh về khả năng hiểu biết mà thôi, liệu nó có thể chuyển từ vai trò trợ lý thành một nhà toán học sáng tạo thực sự, giải quyết những bài toán khó cấp thế giới như Bài toán Erdős hay không, họ vẫn chưa rõ. Chốc chốc, không khí trong văn phòng trở nên im lặng.

"Thế thì cứ thử xem sao." Tiếng nói rõ ràng của Tiêu Tú phá vỡ sự im lặng.

Mọi người đều giật mình, ánh mắt cùng hướng về phía anh ta.

"Thử cái gì?" Chu Cẩn hỏi.

"Thử xem có giải được Bài toán Erdős không."

Tiêu Tú dựa lưng vào ghế, tay trái chống cằm, tay phải thoải mái đặt lên chuột máy tính. Sau khi nói xong, anh ta thậm chí không nhìn phản ứng của mọi người, ngón tay đã nhanh chóng lướt trên bàn phím.

Ngoại trừ Trần Lâm, người vẫn tràn đầy hứng khởi ngây thơ, những người còn lại đều có biểu cảm rất phức tạp.

Sau sự việc nghiên cứu Giả thuyết Goldbach, Tiêu Tú cũng đã tìm hiểu qua Bài toán Erdős. Anh ta đã đọc qua vô số tài liệu về giải tích số, trong đó vô số lần xuất hiện tên tuổi của Erdős. Rất nhiều vấn đề do ông lão Hungary đề xuất, về bản chất, chia sẻ cùng một hạt nhân toán học với Giả thuyết Goldbach, tức là những quy luật sâu xa trong sự phân bố số nguyên tố, giới hạn cấu trúc của lý thuyết số cộng tính, điều kiện biên của phương pháp sàng và phương pháp vòng.

Trong số đó, có một vấn đề khiến anh ta cảm thấy khá thú vị.

Năm 1979, trong một bài luận văn, Erdős đã đề xuất một giả thuyết về mật độ phân bố khoảng cách giữa các số nguyên tố, trọng tâm là "Liệu có tồn tại vô số cặp số nguyên tố mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn bất kỳ số dương ε cho trước nào nhân với logarit tự nhiên của chính số nguyên tố đó không?"

Vấn đề này liên quan đến hành vi giới hạn của khoảng cách giữa các số nguyên tố, là một dạng mở rộng của Giả thuyết sinh đôi, nhưng hướng tiếp cận và khuôn khổ lý thuyết dòng chảy Goushin mà anh ta sử dụng khi chứng minh Giả thuyết sinh đôi lại không hoàn toàn giống nhau.

Nó khá đặc biệt.

Và vấn đề này cho đến nay vẫn chưa được giải quyết. Ít nhất, trong tất cả những tài liệu anh ta từng đọc, chưa từng thấy.

Tiêu Tú nhanh chóng mở trang web của thư viện Bài toán Erdős. Trang web hiển thị một danh sách đơn giản đến mức gần như sơ sài, mỗi dòng là một mã số vấn đề, một tiêu đề ngắn gọn và một dấu hiệu trạng thái.

Những vấn đề đã được giải quyết hiển thị bằng màu xanh lá, chưa giải quyết được hiển thị bằng màu đỏ, giải quyết một phần hiển thị bằng màu vàng.

Anh ta nhanh chóng lướt xuống, ánh mắt quét qua một loạt các dòng màu đỏ.

Số 228.

Trạng thái: Chưa giải quyết.

Tiêu đề: Giới hạn mật độ phân bố khoảng cách giữa các số nguyên tố.

Tiền thưởng: 500 đô la.

Anh ta nhấp vào trang chi tiết, một dòng mô tả ngắn gọn hiện lên trên màn hình.

“Liệu có tồn tại vô số cặp số nguyên tố (p, q) sao cho |p - q| < c·logp, trong đó c là một hằng số dương tùy ý nhỏ bé không? Nếu tồn tại, cận dưới của c là bao nhiêu?”

Ánh mắt của Tiêu Tú dừng lại trên dòng chữ ấy hai giây.

Câu hỏi này, về bản chất, đang đặt vấn đề về khoảng cách giữa các số nguyên tố có thể gần đến mức nào.

Giả thuyết song sinh nguyên tố đã chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên tố cách nhau một khoảng cố định nào đó, nhưng vấn đề của Erdős còn tiến xa hơn thế.

Ông ấy hỏi rằng, khoảng cách nhỏ nhất giữa các số nguyên tố có thể bị nén xuống mức logarit hay thậm chí nén xuống một hằng số tùy ý nhân với logarit hay không.

Nói một cách dễ hiểu, giả thuyết song sinh nguyên tố chứng minh rằng “khoảng cách giữa các số nguyên tố có thể gần đến mức chỉ còn một chút xíu”, còn Bài toán số 228 của Erdős đặt câu hỏi: “cái chút xíu ấy có thể nhỏ đến mức nào, có thể nhỏ đến mức gần như không tồn tại hay không?”

Vấn đề này khó hơn giả thuyết song sinh nguyên tố.

Bởi nó không chỉ hỏi “có tồn tại hay không”, mà là “giới hạn của nó ở đâu”.

Để trả lời câu hỏi này, không chỉ cần chứng minh sự tồn tại của vô số cặp số nguyên tố, mà còn phải định lượng cực kỳ tinh tế quy luật phân bố khoảng cách giữa chúng.

Các phương pháp truyền thống, dù là phương pháp sàng hay phương pháp vòng tròn, khi xử lý những vấn đề có độ chính xác cấp độ này đều vấp phải những rào cản sai số không thể vượt qua.

Nhưng vừa rồi Tiêu Tú vừa sáng tạo ra phương pháp sàng phân tầng và phương pháp vòng tròn điểm yên ngựa, chính là được sinh ra để vượt qua những rào cản sai số ấy.

Phương pháp sàng phân tầng chia tập hợp số nguyên tố thành nhiều tầng, mỗi tầng chỉ xử lý thông tin ở một thang đo nhất định, từ đó tránh được vấn đề sai số mất kiểm soát khi sàng lọc tinh vi trong phương pháp sàng truyền thống.

Còn phương pháp vòng tròn điểm yên ngựa thì thông qua việc mở rộng đường dẫn tích phân lên mặt phẳng phức, tích phân dọc theo đường dốc nhanh nhất, khiến cho thành phần chính trở nên rõ ràng, thành phần dư có thể ước lượng được.

Kết hợp hai phương pháp ấy, về mặt lý thuyết có thể mô tả một cách chính xác chưa từng có về sự phân bố khoảng cách giữa các số nguyên tố.

Có ý tưởng trong đầu, tốc độ gõ phím của Tiêu Tú nhanh như bay, từng dòng chữ xuất hiện trên màn hình.

“Bài toán số 228 của Erdős: Giới hạn mật độ phân bố khoảng cách giữa các số nguyên tố.”

“Định lý: Với mọi ε > 0, tồn tại vô số cặp số nguyên tố (p, q) sao cho |p - q| < ε·logp.”

“Ý tưởng chứng minh: Chuyển bài toán khoảng cách giữa các số nguyên tố thành bài toán phân loại quỹ đạo trong không gian metric có trọng số rời rạc.”

Anh ấy gõ xong dòng ấy, ngón tay dừng lại trên bàn phím một nhịp, rồi tiếp tục.

“Đặt P là tập hợp các số nguyên tố. Với mọi N, định nghĩa tập hợp số nguyên tố cắt đứt PN={p≤N}. Xây dựng không gian metric có trọng số rời rạc (XN,dN), trong đó các điểm trong XN tương ứng với các số nguyên tố trong PN, trọng số của metric được quyết định bởi khoảng cách giữa các số nguyên tố. Không gian này có cấu trúc phân tầng tự nhiên: chia PN theo thang đo logarit thành nhiều tầng, mỗi tầng đặc trưng khoảng cách giữa các số nguyên tố bởi mật độ cục bộ của tầng ấy.”

Ngón tay anh ấy gõ càng lúc càng nhanh.

“Sử dụng phương pháp sàng phân tầng, tính toán hàm phân bố khoảng cách cục bộ của mỗi tầng Fl(h)=#{p∈tầng l: tồn tại số nguyên tố q > p, q - p < h}. Ưu điểm của xử lý phân tầng là sự phân tách thang đo khoảng cách giữa các tầng khác nhau, khiến cho các thành phần sai số chéo giữa các tầng không bị tích lũy.”

“Sau đó, ánh xạ kết quả của mỗi tầng thông qua biến đổi Fourier-Mikusinski lên tích phân điểm yên ngựa trên mặt phẳng phức. Chọn đường dẫn tích phân dọc theo đường dốc nhanh nhất, thành phần chính được quyết định bởi đóng góp điều hòa gần điểm yên ngựa, thành phần dư được quyết định bởi vùng xa điểm yên ngựa.”

“Cuối cùng, hàm phân bố khoảng cách toàn cục F(h) có thể được biểu diễn bằng tổng đóng góp của các tầng: F(h)=∑lFl(h). Khi h=ε·logN, thông qua ước lượng thành phần dư của phương pháp vòng tròn điểm yên ngựa, có thể thu được cận dưới của F(ε·logN) lớn hơn không, và cận dưới ấy không suy biến khi N tăng lên.”

“Do vậy, tồn tại vô số cặp số nguyên tố thỏa mãn khoảng cách nhỏ hơn ε·logp.”

Tiếp theo đó, bằng chính phương pháp ấy, ta có thể chứng minh rằng cận dưới của ε bằng không.” Nói xong, anh buông tay xuống, rà soát lại một lượt. Toàn bộ quá trình, từ lúc mở trang web cho đến khi gõ xong câu cuối cùng trong suy luận chứng minh, không vượt quá mười lăm phút. Và trong mười lăm phút ấy, mọi người trong phòng thí nghiệm đều im lặng, chẳng ai phát ra bất kỳ âm thanh nào. Cả ba người Trần Cảnh Minh cũng bất ngờ cùng tiến đến phía sau đám đông, lặng lẽ quan sát thí nghiệm của Tiêu Túc.