Chương 382: Cách giải

Tốc độ đọc của Tiêu Tú khiến Cố Trường Cẩn thầm kinh ngạc.

Một tập tài liệu dày cộm trong tay anh lật nhanh đến nỗi chỉ trong vòng chưa đầy mười phút, anh đã đọc xong hơn nửa.

Cách đọc của Tiêu Tú cũng thật đặc biệt. Khi xem xét tài liệu, dường như anh ấy nhảy thẳng từ tiêu đề tới công thức, rồi lướt qua quá trình suy luận, ánh mắt hầu như chẳng bao giờ dừng lại trên những dòng chữ giải thích.

Lật tới trang cuối, ánh mắt Tiêu Tú bỗng chậm lại.

Cố Trường Cẩn nhận thấy sự thay đổi ấy, thân mình hơi nghiêng về phía trước.

Anh biết Tiêu Tú vừa phát hiện ra vấn đề gì.

Nội dung chương này trong tài liệu chính là nỗ lực xây dựng cấu trúc cắt tầng khung xương nhóm cấp cao.

Họ đã sử dụng một phương pháp khá truyền thống: trước tiên xây dựng một họ atlas tọa độ địa phương bao phủ không gian thương của trường chuẩn tắc, sau đó lần lượt định nghĩa điều kiện cắt trên từng atlas, cố gắng dùng phép phân hoạch đơn vị để dán các lát cắt địa phương thành một lát cắt toàn cục.

Phương pháp này trong toán học là thao tác chuẩn mực, có thể áp dụng được trong hầu hết các bài toán biến phân, và họ đã quen thuộc với cách làm này.

Nhưng ở đây, nó rõ ràng không đủ dùng.

Chỉ nhìn thoáng qua, Tiêu Tú đã hiểu vấn đề nằm ở đâu.

Cách tiếp cận truyền thống trong việc cắt tầng là dùng atlas tọa độ địa phương để phủ toàn bộ không gian, sau đó dùng phép phân hoạch đơn vị để dán các lát cắt lại với nhau. Nhưng không gian thương của trường Yang-Mills không phải là đa tạp thông thường, trên đó tồn tại cấu trúc tầng do các bản sao Gribov tạo ra.

Cùng một trạng thái vật lý trong không gian thương bị nhân lên thành vô số điểm, những điểm này phân bố trên các atlas tọa độ khác nhau, liên kết với nhau thông qua phép biến đổi chuẩn tắc.

Dùng atlas tọa độ địa phương để cắt tầng, mỗi atlas chỉ có thể nhìn thấy những điểm trong phạm vi khu vực của mình, không thể thấy được các bản sao trên atlas khác.

Khi dán lại, các bản sao thuộc cùng một trạng thái vật lý sẽ bị coi là những điểm cực tiểu khác nhau và được giữ lại riêng biệt.

Đó chính là lý do phương pháp truyền thống không thể loại bỏ được các bản sao Gribov—không phải vì điều kiện cắt đặt sai, mà bởi vì khuôn khổ của việc cắt tầng vốn đã không đủ chiều.

Dùng atlas tọa độ địa phương để xử lý một đối tượng có cấu trúc tô pô toàn cục, giống như dùng bản đồ phẳng để mô tả bề mặt Trái Đất vậy. Ở gần xích đạo thì không vấn đề gì, nhưng càng tiến gần tới hai cực, sự méo mó càng trở nên rõ rệt.

Còn phương pháp cắt tầng khung xương nhóm cấp cao mà Tiêu Tú đề cập là nhằm mục đích tái lập chỉ mục toàn cục đối với toàn bộ không gian thương.

Nói cách khác, không còn xuất phát từ atlas tọa độ nữa, mà từ cấu trúc nhóm hòa của lớp tương đương chuẩn tắc, kết nối tất cả các điểm thuộc cùng một lớp tương đương hòa bằng quan hệ khung xương nhóm, sau đó định nghĩa việc cắt tầng trên cấp độ của khung xương.

Nhờ vậy, tất cả các bản sao Gribov của cùng một trạng thái vật lý sẽ tự nhiên được nhận diện là một đối tượng duy nhất trên cấp độ cắt tầng khung xương, từ đó không cần phải dán lại, không cần phép phân hoạch đơn vị, cũng chẳng cần bất kỳ sự phân bổ trọng số nhân tạo nào.

Lộ Trăn họ định dùng phương pháp atlas tọa độ địa phương để thực hiện một thao tác vốn mang bản chất toàn cục là khung xương, chẳng khác nào dùng tuốc nơ vít để vặn một con ốc cần cờ lê lục giác vậy?

Dụng cụ không đúng, đương nhiên chẳng thể đạt được hiệu quả mong muốn.

Tiếp tục lật trang, Tiêu Tú phát hiện ra mấy vấn đề khác mà họ gặp phải, hầu hết đều có cùng bản chất—dùng dụng cụ truyền thống để cắn xé khuôn khổ mới, khiến cho ở vài bước quan trọng phải vòng vèo xa xôi.

Chẳng hạn như trong việc mở rộng định lý chính quy hóa độ cong, Lộ Trăn họ cố gắng áp dụng trực tiếp chứng minh dành cho nhóm giao hoán vào trường hợp tổng quát nhóm luận, mỗi bước đều phải dùng lý thuyết biểu diễn nhóm để kiểm chứng lại.

Cách làm này về mặt logic không có vấn đề, nhưng khối lượng công việc lớn đến mức không tưởng tượng nổi, hơn nữa dễ mắc kẹt ở vài chi tiết kỹ thuật tưởng chừng nhỏ nhặt.

Chẳng hạn như trong trường hợp nhóm hòa phi giao hoán, nhóm đối đồng điều ở chiều lớn hơn hai sẽ xuất hiện hệ số xoắn phi tầm thường, những hệ số xoắn này khiến cho quỹ đạo năng lượng cực tiểu trong không gian thương xuất hiện phân nhánh cục bộ, và việc đánh giá tính ổn định tại điểm phân nhánh vượt xa phạm vi của chính quy hóa độ cong kinh điển.

Tuy vậy, nhìn chung Tiêu Tú lại thấy ngạc nhiên.

Anh tưởng rằng với tốc độ của họ, ít nhất cũng phải mất hơn một tháng để đặt nền móng, vậy mà chỉ trong vài ngày ngắn ngủi, Lộ Trăn họ đã vạch ra được một lộ trình nghiên cứu khá hoàn chỉnh.

Dù có vài đoạn phải vòng vèo xa, nhưng đại hướng là đúng đắn.

Trên sơ đồ lộ trình, mỗi một điểm nút đều ghi chú rõ những công cụ toán học cần phải chinh phục, mỗi kết quả giai đoạn dự kiến đều có tiêu chuẩn kiểm chứng rõ ràng.

Ngay cả khi không có sự trợ giúp của anh ấy, với lộ trình rõ ràng như thế này, họ tự mình mò mẫm tiến bước, chừng nửa năm đến một năm là có thể dọn sạch những chướng ngại chính rồi. Tất nhiên, có một hai chỗ thực sự không thể vượt qua chỉ bằng thời gian. Bởi vì những công cụ toán học cần dùng, hiện tại vẫn chưa tồn tại trong bất kỳ sách giáo khoa chuẩn nào.

Tiêu Túc ngẩng đầu lên, phát hiện Cổ Trường Cẩu đang nhìn mình với vẻ mặt đầy mong đợi.

"Lộ trình của các anh nhìn tổng thể không có gì lệch lạc, phương hướng đúng đắn, chỉ là trong thiết kế lộ trình có mấy chỗ vòng vèo hơn mức cần thiết, thêm khoảng ba bốn bước thôi."

Anh ấy lật đến mấy trang cuối của tài liệu, chỉ vào một biểu thức rồi nói nhẹ nhàng:

"Giai đoạn dịch có thể bỏ trực tiếp bước ba và bước bốn, từ bước hai là quan hệ tương ứng nhóm chuẩn trực tiếp nhảy đến bước năm là phân tích chùm sợi không gian thương, bước trung gian kiểm chứng tọa chuẩn địa phương không cần thiết, bởi vì cấu trúc toàn thể của không gian thương đã được xác định hoàn toàn bởi lớp đồng luân của nhóm holonomy, không cần phải kiểm chứng địa phương nữa."

Cổ Trường Cẩu lấy ra từ cặp tài liệu một cuốn sổ nhỏ bằng lòng bàn tay và một cây bút bi, nhanh chóng ghi chép.

Vừa ghi vừa trong lòng thầm cảm thấy may mà mình không đến tay không.

"Mấy vấn đề khác cũng đều thuộc loại tương tự," Tiêu Túc tiếp tục nói, "vấn đề về bản sao Gribov, sở trưởng Diệp trong tài liệu đã phân tích đúng hướng, vấn đề thực sự nằm ở sự không khớp chiều của lớp phủ tọa chuẩn địa phương và chỉ mục chỉ số khung toàn cục. Phương pháp các anh dùng là ghép dán cắt cụt địa phương thành cắt cụt toàn cục bằng phép phân hoạch đơn vị, cách này không vấn đề gì với nhóm giao hoán, bởi vì lớp tương đương chuẩn của nhóm giao hoán là thương tập có định nghĩa tốt. Lớp tương đương holonomy của nhóm không giao hoán trên không gian thương sẽ hình thành một thứ gọi là cấu trúc lá symplectic phân tầng hóa, những biến đổi chuẩn giữa các lá không phải là ánh xạ rời rạc điểm đối điểm, mà là một họ đường đồng luân liên tục. Tọa chuẩn địa phương chỉ có thể thấy cấu trúc trên một lá đơn lẻ, không nhìn thấy mối quan hệ khung giữa các lá, nên cắt cụt toàn cục được ghép dán từ cắt cụt địa phương vốn dĩ đã không hoàn chỉnh."

Cổ Trường Cẩu trên cuốn sổ nhỏ ghi thật nhanh, nét chữ xấu đến mức có lẽ chỉ mình anh ấy đọc được.

Khi anh ấy ghi đến "cấu trúc lá symplectic phân tầng hóa", đầu bút của anh ấy dừng lại trên trang giấy.

Cụm từ "cấu trúc lá symplectic phân tầng hóa" này, anh ấy chưa từng nhìn thấy trong bất kỳ tài liệu nào, nhưng Tiêu Túc nói ra lại tự nhiên đến vậy... Liệu có phải bởi vì bản thân mình đã rời xa nghiên cứu hàng đầu quá lâu, đến mức không theo kịp sự tiến triển học thuật hiện nay?

"Vậy giải pháp là gì?" Cổ Trường Cẩu nhíu mày, tiếp tục hỏi.

"Giải pháp rất đơn giản, không cần dùng tọa chuẩn địa phương để phân hoạch đơn vị, mà trực tiếp từ tác động nhóm holonomy của trường chuẩn xuất phát, định nghĩa cắt cụt trên khung nhóm bậc cao. Khung nhóm bậc cao vốn dĩ đã bao gồm tất cả mối quan hệ đồng luân giữa các lá, nên cắt cụt được định nghĩa trên tầng khung có thể tự động phủ toàn bộ không gian thương, như vậy không cần phải ghép dán nữa."

"Vậy khung cụ thể này phải xây dựng như thế nào?" Cổ Trường Cẩu vẫn nhíu mày, tiếp tục truy hỏi.

"Đầu tiên định nghĩa tác động nhóm holonomy trên không gian cấu hình trường chuẩn thành một nhóm hai chiều, đối tượng của nó chính là cấu hình trường chuẩn, đạo hàm là biến đổi holonomy, sau đó lấy hạt nhân của nhóm này, thu được phân mảnh khung của nó. Mỗi đơn hình trên phân mảnh khung tương ứng một tập hợp những cấu hình trường chuẩn có thể biến đổi lẫn nhau thông qua biến đổi holonomy, đây chính là một lớp tương đương, tiếp theo, trên những đơn hình này định nghĩa điều kiện cắt cụt, rồi lần lượt đẩy lên theo khung, đẩy đến tầng cao nhất là xong."