Chương 213: Lưu Hạo Nhiên và những người khác dường như đều trở nên bình thường rồi

Anh nhìn xuống chỉ hai trang đầu, ngay lập tức đôi mày chau lại.

Tác giả khi định nghĩa "đa tạp con rời rạc" tương ứng với tập hợp số nguyên tố, đã trực tiếp áp dụng cách xây dựng mà ông ấy từng dùng để xử lý cặp số nguyên tố sinh đôi trong bài báo trước, gần như chẳng sửa đổi gì đáng kể. Vấn đề là, dù cả hai đều liên quan đến số nguyên tố, giả thuyết về số nguyên tố sinh đôi xoay quanh sự phân bố khoảng cách giữa các cặp số, còn giả thuyết Goldbach lại liên quan đến cấu trúc cộng tính khi biểu diễn số chẵn dưới dạng tổng hai số nguyên tố—đó hoàn toàn là hai cấu trúc toán học khác biệt. Việc đem nguyên mô hình hình học của giả thuyết này sang giả thuyết kia, thậm chí không thèm kiểm chứng tính khả dụng ngay từ định nghĩa cơ bản, rõ ràng không phải là tham khảo mà là sự bắt chước thô thiển.

Cái khiến Tiêu Tú càng khó chịu hơn là một bổ đề cốt lõi ở trang thứ ba. Tác giả cố gắng chứng minh rằng, trong mô hình hình học mà họ xây dựng, "số giao" tương ứng với số chẵn n có mối liên hệ với hàm đếm phân tích Goldbach g(n). Nhưng trong quá trình suy luận, họ mắc một sai lầm hiển nhiên: họ coi giao của hai đa tạp Lagrange trên đa tạp symplectic chính là giao của ảnh chiếu của chúng dưới một phép chiếu nào đó. Phép toán này vốn chẳng hề đúng trong đa tạp symplectic thông thường, trừ phi các đa tạp con thỏa mãn điều kiện giao nhau khá khắt khe—mà tác giả thậm chí còn không nhận ra sự tồn tại của điều kiện ấy.

Tiêu Tú nhẹ nhàng thở ra, tắt tờ báo luận đi.

Bản thứ hai đến từ một nhóm nghiên cứu liên hợp châu Âu, đăng dưới dạng tiền ấn phẩm trên MPRA, đội ngũ tác giả khá đồ sộ với sáu người, đến từ Đại học Paris VI, Đại học Bonn và ETH Zurich.

Tiêu đề của bài báo là *Phương pháp hình học symplectic và cấu trúc cộng tính của giả thuyết Goldbach*.

Bài này có nền tảng toán học vững chắc hơn hẳn so với bản đầu tiên. Ít nhất các tác giả cũng nhận ra sự khác biệt về cấu trúc giữa giả thuyết Goldbach và giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, đồng thời cố gắng điều chỉnh cho phù hợp. Họ đề xuất một cấu trúc "song phân sợi" —dùng hai quá trình giảm symplectic khác nhau để xử lý từng số hạng nguyên tố trong tổng, rồi kết nối chúng thông qua một cấu trúc tích.

Ý tưởng nghe chẳng tồi, thậm chí có phần gợi mở. Nhưng Tiêu Tú đọc thêm vài trang thì phát hiện ra một vấn đề chết người: cấu trúc song phân sợi mà họ xây dựng dựa trên một giả định ngầm rằng tập hợp số nguyên tố phân bố "đều đặn" theo nghĩa nào đó, đủ để có thể xấp xỉ tổng rời rạc bằng tích phân trên liên tục.

Các tác giả rõ ràng cố gắng dùng ước lượng tổng mũ trong phương pháp vòng tròn để củng cố giả định này, nhưng độ chính xác trong ước lượng của họ còn quá thấp. Kiểm soát sai số cần thiết để chuyển từ tổng rời rạc sang tích phân liên tục đòi hỏi độ chặt chẽ cao hơn nhiều so với những gì họ đưa ra. Nói cách khác, họ chỉ chứng minh được một kết luận theo nghĩa "xấp xỉ liên tục", còn cách xa so với giả thuyết Goldbach đích thực—mà giữa chúng là một vực thẳm cần phải lấp bằng phân tích cứng, và vực thẳm ấy rộng chẳng kém gì độ khó của bài toán gốc.

Tiêu Tú khẽ mím môi.

Bản thứ ba, thứ tư, thứ năm.

Anh lướt qua càng lúc càng nhanh, nhưng nét mặt càng lúc càng cau có.

Có một bài đến từ Đại học Tokyo, trực tiếp áp dụng tính toán đồng điều Floer trong dòng họ cố — tân, nhưng lại bỏ sót một hệ số dấu quan trọng trong tính toán chiều của nhóm đồng điều, khiến toàn bộ suy luận sau đó dựa trên nền tảng sai lầm.

Lại có một bài đến từ một tiến sĩ trẻ MIT, cố gắng dùng phương pháp học máy để "hỗ trợ" lựa chọn tham số trong sàng lọc, tuyên bố có thể đẩy định lý Chen "1+2" tiến lên "1+1.5" —một cách diễn đạt chẳng có chút ý nghĩa toán học nào.

Nhưng cái khiến Tiêu Tú thấy phi lý nhất là anh bắt gặp một bài đến từ một trường đại học trong nước, tiêu đề hiển thị trắng trợn: *Khung lý thuyết máy chứng minh giả thuyết Goldbach dựa trên lý thuyết Tiêu Tú*.

Vào xem mới biết, cái gọi là "khung lý thuyết máy chứng minh" ấy chẳng qua là xác minh giả thuyết Goldbach đến cấp mười mũ tám, rồi dùng một mô hình xác suất thô sơ để "dự đoán" tình trạng của những số chẵn lớn hơn.

Tác giả dường như hoàn toàn không nhận ra rằng, "xác minh" và "chứng minh" giữa chúng là một vực thẳm toán học, và vực thẳm ấy rộng đến mức nào? Ngay cả khi bạn dùng máy tính xác minh đến tận ngày vũ trụ diệt vong, bạn cũng chẳng bao giờ chạm tới khái niệm "số chẵn tùy ý" vô hạn ấy.

Lúc này, Tiêu Tú chợt nhớ đến lời ông chú Cố thúc thúc từng nói với anh: những gì anh viết ra, có lẽ cả giới toán học phải mất hàng chục năm mới tiêu hóa hết.

Với anh, toán học là ngành khoa học đơn giản nhất. Nó không có sự phức tạp của thế giới thực, định nghĩa rõ ràng, suy luận chặt chẽ, kết luận đúng đắn—chẳng có chuyện tiêu hóa hay không tiêu hóa gì cả.

Nhưng giờ đây anh đã hiểu được ý của Cố Thanh Dần. Những thứ vốn dĩ quá đơn giản đối với anh, thậm chí những học giả còn phải mất hàng chục năm để lĩnh ngộ. Nhìn theo cách này, Lưu Hạo Nhiên cùng bọn họ dường như khá bình thường.

Tiêu Túc đóng trang web, đưa ánh mắt quay trở lại tờ giấy nháp. Những bài luận văn ấy chẳng đem lại cho anh bất cứ thứ gì hữu ích, nhưng ít nhất cũng khiến anh xác nhận được một điều: bước chuyển từ "1+2" sang "1+1" ấy, quả thật chưa có ai vượt qua nổi.

Thậm chí, ngay cả một phương hướng thực sự đầy hứa hẹn, cũng vẫn chưa hề được chỉ ra.

Điều đó ngược lại khiến suy nghĩ của anh trở nên rõ ràng hơn.

Anh nhẹ nhàng cầm lấy một cây bút, viết trên tờ giấy nháp mấy chữ lớn "Giả thuyết Goldbach", rồi bên cạnh đó viết thêm hai chữ "Sàng lọc".

Sàng lọc, có lẽ đó là phương pháp cổ xưa và mộc mạc nhất trong lý thuyết số. Sàng lọc nguyên thủy nhất, gọi là Sàng Eratosthenes, là do một viên quản thư thư viện Hy Lạp cổ đại nghĩ ra hơn hai nghìn năm trước.

Lúc ấy, con người ta đã muốn biết làm thế nào để tìm ra tất cả số nguyên tố. Cách làm của Eratosthenes rất đơn giản: viết ra dãy số tự nhiên bắt đầu từ 2, sau đó giữ lại số 2, gạch hết tất cả bội số của 2. Tiếp theo, số không bị gạch là 3, giữ lại 3, gạch hết bội số của 3. Rồi đến số 5, giữ lại 5, gạch hết bội số của 5... Cứ như vậy lặp đi lặp lại, những số còn lại chính là số nguyên tố.

Cách ấy có phần ngốc nghếch, nhưng lại rất hiệu quả. Cho đến tận bây giờ, khi học sinh tiểu học học về số nguyên tố, giáo viên vẫn dùng phương pháp này để giảng dạy.

Nhưng dùng sàng lọc để nghiên cứu Giả thuyết Goldbach, đó lại là chuyện của thời gian sau này. Năm 1920, nhà toán học Na Uy Viggo Brun là người đầu tiên áp dụng sàng lọc vào Giả thuyết Goldbach.

Ông ấy nghĩ ra một cách: không trực tiếp chứng minh mỗi số chẵn lớn đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố, mà lùi một bước, trước tiên chứng minh nó có thể viết thành tổng của hai "số có số thừa số nguyên tố không quá nhiều".

Chẳng hạn, mỗi số chẵn lớn đều có thể viết thành tổng của hai "số có số thừa số nguyên tố đều không vượt quá 9", tức là cái gọi là "9+9".

Cách suy nghĩ này nghe có vẻ như lùi một bước, nhưng thực ra lại mở ra một con đường cho hậu thế.

Đó chính là dùng chiến thuật bao vây, dần dần thu hẹp phạm vi, từ 9+9 dần tiến tới 1+1.

Sau Brun, con đường ấy trở nên sôi động: năm 1924, người Đức là Hans Rademacher chứng minh được "7+7". Năm 1932, người Anh là Theodor Estermann chứng minh được "6+6". Năm 1938 và 1940, người Xô Viết là Nikolai Chudakov lần lượt chứng minh được "5+5" và "4+4". Năm 1956, người Xô Viết là Ivan Vinogradov chứng minh được "3+3".

Năm 1957, Vương Nguyên người Trung Quốc đã chứng minh được "2+3". Vòng vây ngày càng thu hẹp lại. Nhưng con đường này lại gặp phải vấn đề: trong những chứng minh ấy, không có số nào chắc chắn là số nguyên tố. Nói cách khác, chúng vẫn còn cách xa "1+1" về bản chất.

Bởi vậy, người ta lại tìm một con đường khác. Năm 1948, người Hungary là Lăng Ân Dịch đã mở ra một chiến trường mới. Ông muốn chứng minh rằng mọi số chẵn lớn đều là tổng của một số nguyên tố cộng với một số khác có "số thừa số nguyên tố không vượt quá một giới hạn nhất định". Cuối cùng, ông đã chứng minh được "1+6". Con đường này tiến gần hơn đến mục tiêu hơn những nghiên cứu trước đây, bởi ít nhất đã có một số là số nguyên tố.

Sau đó là mười năm giằng co: Năm 1962, người Trung Quốc là Phan Thừa Đông và người Liên Xô là Ba Lạp Ban đã độc lập chứng minh được "1+5". Năm 1963, Phan Thừa Đông, Vương Nguyên và Ba Lạp Ban lại chứng minh được "1+4". Năm 1965, Buhstap, Vinogradow và người Ý là Pôngpiêlai gần như cùng lúc chứng minh được "1+3".

Tiếp theo, phương pháp sàng lọc đạt đến thời khắc huy hoàng của nó. Năm 1966, trong năm ấy, có một nhà toán học Trung Quốc tên là Trần Cảnh Nhuận, trên kỳ thứ mười bảy của tạp chí "Khoa Học Thông Báo", ông tuyên bố đã chứng minh được "1+2". Tin tức lúc ấy không gây được nhiều chú ý bởi đó chỉ là tuyên bố, chứng minh chi tiết vẫn chưa được công bố. Hơn nữa, những năm ấy, thế giới bên ngoài cũng không yên ổn.

Mãi đến năm 1973, Trần Cảnh Nhuận mới công bố chứng minh hoàn chỉnh. Bài luận văn ấy dày hơn hai trăm trang, hoàn toàn do ông tự tay tính toán, không có máy tính, chỉ có giấy bút và vô số đêm không ngủ. Lúc ấy, nhà toán học người Đức là Ha Bố Tư Đan và người Anh là Lý Khích Đặc đang cùng viết một cuốn sách về phương pháp sàng lọc, bản thảo đã gửi đi in ấn. Sau khi đọc bài luận văn của Trần Cảnh Nhuận, họ đã thu hồi bản thảo về, thêm vào một chương, đặt tên là "Định lý Trần".

Họ viết ở đầu chương ấy: "Công trình của Trần Cảnh Nhuận là 'đỉnh cao rực rỡ' của lý thuyết sàng lọc." Nhà toán học người Anh gửi thư cho Trần Cảnh Nhuận, trong thư gọi ông là người "đã di chuyển cả ngọn núi."

Từ đó đến nay, đã tròn sáu mươi năm trôi qua. Sau "1+2", bước tiếp theo ấy, vẫn chưa ai vượt qua nổi.

Phương pháp sàng lọc đã được Trần Cảnh Nhuận sử dụng đến mức tối đa, giống như một con dao đã được mài đến sắc bén nhất, dù có mài nữa cũng không thể sắc hơn được nữa. Có người từng nói, để hoàn thành bước cuối cùng, phải sáng tạo ra phương pháp mới.

Từ năm 1920 đến năm 1966, từ Brún đến Trần Cảnh Nhuận, mấy thế hệ nhà toán học, hơn nửa thế kỷ, từng bước từng bước thu hẹp vòng vây chỉ còn lại một lớp giấy che cửa sổ. Nhưng lớp giấy ấy, vẫn chưa ai có thể chọc thủng nổi.

"Phải dùng phương pháp gì để giải quyết được Giả thuyết Goldbach?"

Cô xíu thì thầm lẩm bẩm, đôi mày khẽ nới lỏng ra chút xíu.