Chương 215: Phương pháp đường tròn yên ngựa

Nhưng chỉ như vậy vẫn chưa đủ. Sàng pháp chỉ có thể cho ta biết "tồn tại" hay "không tồn tại", rất khó đưa ra con số chính xác. Để có được biểu thức chính xác của g(n), ta còn cần một công cụ khác.

Tiêu Tú nghĩ đến Phân tích Fourier. Bản chất của phương pháp vòng tròn là dùng công cụ của Phân tích Fourier để khai triển hàm đếm g(n) thành một tích phân. Tích phân này được thực hiện dọc theo đường tròn đơn vị, nên mới gọi là phương pháp vòng tròn.

Khi Hardy và Littlewood phát minh ra phương pháp này vào thập niên 1920, mục đích ban đầu của họ là chứng minh Giả thuyết Goldbach. Nhưng cuối cùng, họ chỉ thu được một biểu thức gần đúng có hiệu lực khi N tiến tới vô cùng. Đó là một công thức tiệm cận, chứ không phải đẳng thức nghiêm ngặt đúng với mọi N. Vấn đề nằm ở phần dư của tích phân.

Phần chính của tích phân phương pháp vòng tròn thì dễ tính, chính là công thức tiệm cận nổi tiếng Hardy-Littlewood, đẹp tựa như một bài thơ. Nhưng phần dư thì cực kỳ khó kiểm soát, bởi vì hàm bị tích phân dao động quá mạnh trên đường tròn đơn vị. Giống như một con thuyền nhỏ bị lắc lư dữ dội giữa cơn bão, bạn muốn đo chính xác vị trí trung bình của nó, nhưng mỗi lần sóng vỗ tới, sai số đo lường của bạn lại tăng gấp đôi.

Anh nhìn chằm chằm vào biểu thức tích phân của phương pháp vòng tròn trong một khoảng thời gian dài, bỗng nhiên nhận ra một vấn đề: Tích phân này khó tính bởi vì nó được thực hiện trên toàn bộ trục thực, vậy nếu thay đổi đường tích phân thì sao?

Trong lý thuyết hàm biến phức, ta có thể chọn những đường tích phân khác nhau để tránh những vùng dao động mạnh. Và phương pháp đó chính là "phương pháp hạ thấp nhanh nhất", hay còn gọi là phương pháp điểm yên ngựa.

Phương pháp hạ thấp nhanh nhất do nhà toán học người Pháp Cauchy phát minh vào thế kỷ XIX, ý tưởng cốt lõi vô cùng tinh tế: Khi bạn tính một tích phân dao động mạnh trên mặt phẳng phức, thay vì đi theo đường cũ, bạn có thể "uốn cong" đường tích phân, khiến nó đi qua những điểm khiến hàm bị tích phân biến đổi chậm nhất, tức là những "điểm yên ngựa" ấy.

Đi theo đường mới này, tích phân sẽ trở nên ngoan ngoãn hơn nhiều, bởi những dao động dữ dội đã bị vòng qua. Ý tưởng này được sử dụng rất phổ biến trong vật lý, những xấp xỉ bán cổ điển trong cơ học lượng tử, những khai triển steepest descent trong vật lý thống kê, về bản chất đều là thứ này.

Nhưng trong lý thuyết số, rất ít người nghiêm túc mở rộng tích phân phương pháp vòng tròn lên mặt phẳng phức. Không phải không ai nghĩ tới, mà hầu hết mọi người đều cho rằng, sau khi mở rộng đường tích phân từ đường tròn đơn vị sang mặt phẳng phức, hành vi của hàm bị tích phân sẽ càng khó kiểm soát hơn.

Đường tròn đơn vị ít nhất vẫn là một đường cong compact, khép kín. Còn mặt phẳng phức thì vô biên vô tận. Nhưng Tiêu Tú cảm thấy, chính vì mặt phẳng phức rộng lớn hơn, anh mới có nhiều không gian thao tác hơn.

Trên đường tròn đơn vị, anh chỉ có thể đi theo một con đường duy nhất, phía trước là vùng dao động, anh cũng phải cắn răng mà vượt qua. Nhưng trên mặt phẳng phức, anh có thể đi đường vòng.

Anh bắt đầu thử nghiệm. Bước đầu tiên là mở rộng biểu thức tích phân phương pháp vòng tròn của g(n) từ đường tròn đơn vị sang toàn bộ mặt phẳng phức. Bước này tương đối trực tiếp, bởi vì biến đổi Fourier vốn đã được định nghĩa trên toàn bộ mặt phẳng phức, đường tròn đơn vị chỉ là một đường tích phân đặc biệt.

Thật sự khó khăn nằm ở bước thứ hai, đó chính là tìm ra điểm yên ngựa thích hợp. Bước này đã làm lúng túng tất cả những ai từng bước theo con đường này, và Tiêu Tú cũng đã mất gần ba ngày để phân tích tính giải tích của hàm bị tích.

Anh phát hiện ra rằng, trên mặt phẳng phức, hàm số này thực sự tồn tại một tập hợp những điểm đặc biệt, tại đó đạo hàm bậc nhất của hàm số bằng không, còn đạo hàm bậc hai lại có những tính chất tốt đẹp. Những điểm ấy phân bố chính xác trên một đường cong trơn tru nào đó, đường cong ấy xuất phát từ một điểm trên đường tròn đơn vị, uốn lượn nhẹ nhàng tiến sâu vào bên trong mặt phẳng phức.

Nếu tích phân dọc theo đường cong ấy, sự dao động của hàm bị tích sẽ bị kiềm chế một cách đáng kể. Những phần dư vốn ngang ngược trên đường tròn đơn vị, trên con đường mới này lại trở nên ngoan ngoãn biết bao.

Bởi lẽ, đường đi ấy đã đi qua điểm yên ngựa, nơi hàm bị tích biến đổi êm ái nhất xung quanh nó. Tiêu Tú đặt tên cho đường cong ấy: cung yên ngựa.

Bước tiếp theo là tính toán tích phân trên cung yên ngựa. Bước này cũng chẳng dễ dàng gì, bởi cung yên ngựa chẳng phải là một đường cong hình học đơn giản, hình dạng của nó phụ thuộc vào chính tính chất của hàm bị tích. Nhưng Tiêu Tú nhận thấy, khi N đủ lớn, hình dạng của cung yên ngựa sẽ dần tiến tới một dạng tương đối đơn giản, có thể mô tả bằng một hệ phương trình tham số.

Anh tính toán phần chính của tích phân dọc theo cung yên ngựa, phát hiện kết quả hoàn toàn trùng khớp với công thức Hardy-Littlewood. Điều ấy càng khẳng định hướng đi của anh, ít nhất là phương pháp của anh trong ý nghĩa tiệm cận là đúng đắn.

Nhưng thứ thực sự khiến anh quan tâm chính là việc tính toán phần dư. Trên cung yên ngựa, tốc độ tăng trưởng của phần dư chậm hơn phương pháp vòng tròn truyền thống tới một cấp số nhân. Điều ấy có nghĩa là, với phương pháp của mình, anh có thể thu được những ước lượng đủ chính xác ngay cả khi N tương đối nhỏ.

Và cái khoảng "tương đối nhỏ" ấy, vừa đủ để bao trùm tất cả những số chẵn cần đến sự xác minh bằng máy tính.

Anh đặt tên cho phương pháp này là "phương pháp vòng tròn yên ngựa".

Lúc này, Tiêu Tú đã có trong tay hai vũ khí.

Một là phương pháp sàng tầng tầng, chuyên thao tác trực tiếp trên tập hợp số nguyên, đưa ra một ước lượng cận dưới cho g(n).

Hai là phương pháp vòng tròn yên ngựa, chuyên thực hiện tích phân trên mặt phẳng phức, đưa ra xấp xỉ phần chính của g(n).

Nhưng như thế vẫn chưa đủ để giải quyết triệt để vấn đề, bởi hai vũ khí ấy vẫn là hai ngôn ngữ khác biệt. Chúng vẫn tách biệt nhau.

Phương pháp sàng sử dụng ngôn ngữ của tổ hợp toán học và lý thuyết số sơ cấp, còn phương pháp vòng tròn lại dùng ngôn ngữ của giải tích phức và phân tích Fourier. Khoảng cách giữa chúng, giống như hai người nói những thổ ngữ khác nhau cố gắng giao tiếp, thỉnh thoảng có thể đoán được ý nhau qua cử chỉ và nét mặt, nhưng mãi mãi chẳng thể có một cuộc đối thoại chính xác.

Tiêu Tú cần một người phiên dịch.

Anh nghĩ đến lĩnh vực mình am hiểu nhất: hình học symplectic.

Trong hình học symplectic, sự tương ứng giữa những không gian khác nhau có thể được thực hiện nhờ một công cụ gọi là "phép biến đổi Fourier-Mikushin".

Mikushin là một nhà toán học Xô Viết, vào thập niên sáu mười của thế kỷ trước từng nghiên cứu một lớp biến đổi tích phân đặc biệt. Sau này, hướng nghiên cứu ấy vì quá khó và ứng dụng quá hẹp nên dần bị lãng quên.

Năm ngoái, trong quá trình xây dựng khung hình học symplectic, Tiêu Tú tình cờ lật được một bài báo cũ của Mikushin trong một tập luận văn hội nghị ít người biết đến, phát hiện ra rằng loại biến đổi ông nghiên cứu kia, chính xác có thể dùng để mô tả mối quan hệ đối ngẫu giữa những hệ tọa độ khác nhau trên đa tạp symplectic.

Anh ấy khi ấy đã mở rộng biến đổi này, cải tiến tính hội tụ của nó, rồi áp dụng vào việc xây dựng khung hình học xinh-ge. Sau khi bài luận văn được công bố, giới toán học quan tâm đến dòng xinh-ge của Cố—Tân chủ yếu tập trung vào nửa đầu dùng trong chứng minh giả thuyết sinh đôi, còn biến đổi Fourier-Mikhlin thì ít người chú ý đến.

Nhưng giờ, Tiêu Tú đột nhiên nhận ra rằng biến đổi này chính là cây cầu nối giữa sàng pháp và vòng pháp.

Trọng tâm của biến đổi Fourier-Mikhlin là ánh xạ một hàm định nghĩa trên tập rời rạc vào một đối tượng hình học nào đó trên đa tạp liên tục. Dưới ánh xạ này, phép chập trên tập rời rạc sẽ tương ứng với một phép toán giao nào đó trên đa tạp. Còn tích phân vòng pháp, về bản chất, chính là biểu diễn biến đổi Fourier của một phép chập.

Nói cách khác, hoạt động sàng pháp và tích phân vòng pháp có thể được thống nhất vào cùng một khung hình học thông qua biến đổi Fourier-Mikhlin. Trong khung này, chúng trở thành hai mặt của cùng một đồng xu, chứ không phải hai công cụ độc lập hoạt động riêng rẽ.

Tiêu Tú mất hai ngày để suy luận ra dạng cụ thể của sự tương ứng ấy. Anh ấy xây dựng một đa tạp xinh, ký hiệu là M_P, mỗi điểm trên đó tương ứng với một “trạng thái” nào đó của số nguyên tố. Trên đa tạp này, hàm g(n) của giả thuyết Goldbach chính bằng số giao của hai đa tạp con Lagrange đặc biệt. Còn ước lượng cận dưới từ sàng pháp phân tầng tương ứng với xấp xỉ cắt cụt của số giao ấy. Còn ước lượng hạng chính từ vòng pháp yên ngựa tương ứng với khai triển của cùng số giao ấy trong một bản đồ tọa độ khác. Sai số giữa hai thứ ấy có thể được kiểm soát thống nhất bởi một bất biến hình học trên đa tạp.

Tiêu Tú ký hiệu bất biến ấy là . Định nghĩa của nó liên quan đến đồng điều Floer, và trong điều kiện thích hợp, nó là một bất biến tô-pô, nghĩa là nó bất biến dưới mọi biến dạng liên tục của đa tạp. Điều này có nghĩa là nếu anh ấy có thể chứng minh > 0, thì dù có làm nhiễu sàng pháp hay điều chỉnh đường đi tích phân theo cách liên tục, miễn là cách ấy liên tục, cận dưới của g(n) vẫn luôn lớn hơn 0. Và g(n) > 0 nghĩa là mọi số chẵn đủ lớn đều có thể biểu diễn thành tổng hai số nguyên tố. Giả thuyết Goldbach bỗng nhiên được chuyển hóa thành chứng minh tính bất biến hình học ấy khác 0.

Giờ thì khung đã có. Nhưng khung chỉ là bộ xương, còn cần phải lấp đầy thịt vào.

Miếng thịt khó nhằn nhất là chứng minh thực sự > 0. Muốn thế phải dùng đến những ước lượng cụ thể từ sàng pháp phân tầng và vòng pháp yên ngựa. Tiêu Tú mở lại những công thức mình đã suy luận trước đây, thay thế ước lượng cận dưới từ sàng pháp phân tầng và khai triển hạng chính từ vòng pháp yên ngựa vào biểu thức của .

Rồi anh ấy phát hiện ra một vấn đề.

Hai ước lượng ấy có phần chồng lấn. Khi sàng pháp phân tầng ước lượng cận dưới, nó sẽ đếm trùng lặp một số số chẵn. Khi vòng pháp yên ngựa tính hạng chính, nó cũng phủ một phần cùng dãy số chẵn ấy. Nếu cộng trực tiếp hai kết quả ấy, phần chồng lấn sẽ bị tính hai lần, khiến ước lượng cuối cùng bị phóng đại. Ngược lại, nếu cố gắng trừ đi phần chồng lấn, vì hai phương pháp ấy dùng ngôn ngữ khác nhau—một theo sàng pháp, một theo tích phân—nên đơn vị đếm không thống nhất, rất khó định rõ phần nào chồng lấn, phần nào không.

Sóc Tú bị kẹt cứng ở vấn đề này suốt ba ngày liền. Trong ba ngày ấy, anh thử không dưới mười phương pháp khác nhau để giải quyết chuyện chồng chéo, nhưng vẫn không thể vượt qua. Điều đó khiến trạng thái của anh trở nên khác thường đến lạ.

Cổ Thanh Uyên là người đầu tiên nhận thấy sự bất thường nơi Sóc Tú. Khi biết anh đang viết luận văn tốt nghiệp, cô còn hỏi đề tài của anh, nhưng tiếc thay Sóc Tú chẳng nói gì cả. Anh vốn không thích khoe khoang trước khi có kết quả.