Chương 214: Phương pháp sàng phân tầng

Anh ấy vung những đầu ngón tay trên tờ giấy nháp, nhanh chóng vạch ra những phép tính, cố gắng tìm ra công cụ phù hợp với Giả thuyết Goldbach, tìm kiếm khả năng đột phá. Những phương pháp hiện có, dù là sàng lọc hay phương pháp vòng tròn, đều tiếp cận vấn đề từ những góc độ khác nhau. Phương pháp sàng lọc giống như dùng một chiếc lưới để vớt lấy những số nguyên tố, còn phương pháp vòng tròn thì giống như dùng phân tích Fourier để thăm dò tần suất phân bố của các số nguyên tố. Nhưng cả hai công cụ này đều có một hạn chế chung: chúng đều quan sát các số nguyên tố từ "bên ngoài", chứ không xuất phát từ "cấu trúc nội tại" của chính tập hợp số nguyên tố.

Hiểu bỗng nhớ tới một ý tưởng từ hồi nghiên cứu hình học symplectic. Trong hình học symplectic, cách trực tiếp nhất để nghiên cứu tính chất của một đa tạp là nghiên cứu không gian hàm trên đó. Những hàm số đó lấy giá trị, biến đổi, điểm tới hạn trên đa tạp, có thể cho anh biết đa tạp đó trông như thế nào. Nếu coi tập hợp các số nguyên tố như một "đa tạp rời rạc" thì sao? Trên đa tạp này, liệu có thể định nghĩa một lớp hàm đặc biệt, chẳng hạn, ánh xạ mỗi số chẵn n thành số lượng cặp số nguyên tố có thể phân tích được của nó? Giá trị của hàm này chính là thứ mà Giả thuyết Goldbach quan tâm. Sự phân bố của hàm này trên trục số nguyên, liệu có tồn tại cấu trúc bất biến nào không?

Hiểu ngồi thẳng dậy, mở một tài liệu mới, bắt đầu viết vài dòng:

"Đặt P là tập hợp các số nguyên tố. Với mọi số chẵn n, định nghĩa g(n) = #{(p,q) ∈ P×P : p+q=n}, tức là số lượng phân tích Goldbach của n."

"Câu hỏi là: liệu g(n) có luôn lớn hơn 0 không?"

Sau khi viết xong, anh nhìn chằm chằm vào mấy dòng chữ ấy một lúc. Đây là một vấn đề cổ xưa, nhưng anh muốn nhìn nó theo một góc độ hoàn toàn mới. Nếu từ góc độ phân tích Fourier, g(n) có thể coi là tích chập của hai tập hợp số nguyên tố. Nghĩa là, nếu biểu diễn tập hợp số nguyên tố dưới dạng một hàm đặc trưng, mỗi số nguyên nếu là số nguyên tố thì lấy 1, không thì lấy 0, thì g(n) chính là tích chập của hàm đặc trưng ấy với chính nó. Tích chập trong miền Fourier sẽ trở thành phép nhân. Nghĩa là, biến đổi Fourier của g(n) bằng bình phương của biến đổi Fourier của hàm đặc trưng số nguyên tố. Vì thế, nếu có thể hiểu rõ biến đổi Fourier của hàm đặc trưng số nguyên tố, thì có thể hiểu rõ sự phân bố của g(n). Đây chính là hướng tư duy cổ điển của phương pháp vòng tròn.

Vào đầu thế kỷ trước, Hardy và Littlewood đã dùng phương pháp này để thu được một công thức tiệm cận: g(n) ≈ hằng số nào đó × n/(log n)^2 × một hệ số hiệu chỉnh liên quan đến thừa số lẻ của n. Nhưng công thức này chỉ là tiệm cận, không phải là chặt chẽ. Vấn đề nằm ở đâu?

"Phương pháp vòng tròn đưa ra ước lượng cho số hạng chính, nhưng việc kiểm soát số hạng dư thì mãi không thể đủ nhỏ, nguyên nhân sâu xa là do biến đổi Fourier của tập hợp số nguyên tố có quá nhiều dao động, khó ước lượng chính xác."

Nhưng nếu thay đổi góc nhìn thì sao? Không phải từ miền Fourier, mà từ miền phổ thì sao? Đây chính là điều anh nghĩ tới khi nghiên cứu phương trình NS gần đây.

Trong cơ học lượng tử, sự phân bố mức năng lượng của một hệ thống có thể được mô tả bằng lý thuyết phiếm hàm. Mỗi mức năng lượng tương ứng với một giá trị riêng, và sự phân bố của những giá trị riêng này tuân theo một quy luật nhất định. Nếu coi các số nguyên tố như là những giá trị riêng của một toán tử nào đó thì sao? Ý tưởng này nghe có vẻ điên rồ, nhưng trong lịch sử toán học không thiếu những tiền lệ như vậy.

Giả thuyết Riemann về bản chất là nghiên cứu sự phân bố của các không điểm của một hàm số, hàm Riemann zeta. Những không điểm đó có thể được xem như là quang phổ của một toán tử nào đó.

Hiểu chợt nhớ lại hồi năm ngoái ở Princeton, Deligne từng nhắc qua một câu: có những vấn đề trong lý thuyết số, khi được tiếp cận bằng phương pháp hình học đại số thì sẽ trở nên rõ ràng hơn. Hình học đại số nghiên cứu tập nghiệm của những phương trình đa thức. Nếu coi các số nguyên tố như là nghiệm của một số phương trình đa thức nào đó, thì giả thuyết Goldbach sẽ trở thành một vấn đề về tính chất cộng của những tập nghiệm ấy.

Anh tiếp tục viết:

“Đặt V_p = {x ∈ Z : x ≡ 0 mod p}, đây là tập hợp các bội số của p. Bản thân số nguyên tố p có thể được xem như là yếu tố sinh của tập hợp này.”

“Với mọi số chẵn n, xét tất cả các số nguyên tố p thỏa mãn p ≤ n. Mỗi p tương ứng với một tập hợp V_p. Số n có thể được viết dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khi và chỉ khi tồn tại p, q sao cho n ∈ V_p + V_q.”

Cách nhìn nhận này đã biến vấn đề từ “tìm số nguyên tố” thành “tìm mối quan hệ cộng giữa các tập hợp”.

Hiểu nhìn chằm chằm vào cách diễn đạt ấy, trong đầu bỗng lóe lên một ý nghĩ.

Trong hình học symplectic, “dưới đa tạp Lagrange” có thể được mô tả bằng đồng điều Floer. Nếu coi V_p như một phiên bản rời rạc nào đó của “dưới đa tạp”, thì việc n ∈ V_p + V_q có phải cũng có thể xem như một dạng “giao nhau” nào đó chăng? Nếu đúng như vậy, thì giá trị g(n) có lẽ cũng liên quan đến một dạng số giao điểm nào đó. Và số giao điểm, trong những điều kiện thích hợp, là một bất biến tôpô, nghĩa là, dù bạn có làm nhiễu loạn thế nào, miễn là cách làm nhiễu ấy phù hợp, con số ấy vẫn không thay đổi.

Tim Hiểu như đập nhanh hơn một nhịp.

Nếu giả thuyết Goldbach về bản chất là một vấn đề về bất biến tôpô, thì chứng minh của nó không cần phải kiểm soát chính xác từng chi tiết, chỉ cần chứng minh rằng bất biến ấy khác không.

Anh hít sâu một hơi, tiếp tục suy luận:

“Đặt X là tập hợp tất cả các số nguyên tố. Xét một dạng compact hóa hay hoàn thiện hóa nào đó của X, khiến nó trở thành một không gian tôpô. Trên không gian ấy, định nghĩa một cấu trúc cộng, sao cho mỗi số chẵn n tương ứng với một dưới không gian xác định. Khi đó, giả thuyết Goldbach đúng khi và chỉ khi dưới không gian ấy giao với X + X không rỗng.”

“Nếu có thể chứng minh rằng số giao điểm ấy theo một nghĩa nào đó là ổn định, và với n = 4 (4 = 2 + 2) đã biết số giao điểm khác không, thì từ tính ổn định ấy, với mọi n lớn hơn, số giao điểm cũng khác không.”

Cách tiếp cận này nghe có vẻ trừu tượng, nhưng về mặt toán học thì không phải là không thể.

Hiểu nhớ lại những gì mình từng nghiên cứu về đa tạp Gromov. Một trong những tính chất then chốt của loại đa tạp ấy chính là đồng điều Floer của chúng vẫn bất biến dưới sự nhiễu loạn Hamilton. Nếu có thể xây dựng được một đa tạp thích hợp, sao cho tập hợp các số nguyên tố tương ứng với một dưới đa tạp Lagrange nào đó của nó, thì giả thuyết Goldbach sẽ trở thành một định lý hình học.

Theo đuổi con đường ấy, Hiểu tiếp tục tiến bước về phía trước.

Anh ấy bắt đầu từ những điều cơ bản nhất, sắp xếp lại toàn bộ khung lý thuyết về phương pháp sàng và phương pháp vòng. Trọng tâm của phương pháp sàng nằm ở tư tưởng sử dụng một "cái sàng" để loại bỏ những con số không mong muốn. Chẳng hạn, khi nghiên cứu số nguyên tố, trước tiên người ta sẽ liệt kê tất cả các số nguyên, sau đó loại bỏ tất cả bội số của 2, bội số của 3, bội số của 5... Những gì còn lại chính là số nguyên tố. Nhưng phương pháp sàng cũng có một nhược điểm: khi chiếc sàng quá dày, sai số sẽ trở nên mất kiểm soát.

Tiểu Hách nghĩ ra một cách: nếu không thể sàng một lần cho xong, thì hãy sàng từng tầng. Anh chia quá trình sàng thành nhiều tầng, mỗi tầng chỉ chịu trách nhiệm loại bỏ một phần hợp số nhất định, đồng thời vẫn giữ lại đủ thông tin cấu trúc, rồi cuối cùng sẽ kết hợp các tầng theo một cách tinh tế. Tư tưởng này bắt nguồn từ kinh nghiệm của anh năm ngoái khi xử lý vấn đề xây dựng thước đo trọng lượng.

Lúc đó, anh đang nghiên cứu vấn đề thước đo xung quanh các điểm kỳ dị hyperbolic hữu tỷ, đối mặt với một tình thế tương tự: nếu tính toán trực tiếp trên điểm kỳ dị, kết quả sẽ phân kỳ; nhưng nếu chia không gian xung quanh điểm kỳ dị thành nhiều tầng, từng tầng một tiến gần dần, rồi cuối cùng lấy giới hạn, thì sẽ thu được một kết quả hội tụ rất tốt.

Chuyển kỹ thuật từ không gian liên tục sang tập hợp rời rạc các số nguyên, nghe có vẻ đơn giản, nhưng thực hiện lại vô cùng khó khăn. Thế nhưng Tiểu Hách vốn không sợ khoảng cách, chỉ sau một thời gian ngắn suy nghĩ, anh đã bắt tay vào xây dựng phương pháp này.

Bước đầu tiên anh thực hiện là định nghĩa, tức là phân biệt rõ thế nào là tầng. Trước tiên, anh chia tất cả các số nguyên từ 2 đến N theo kích thước của thừa số nguyên tố nhỏ nhất, thành nhiều tầng khác nhau. Tầng đầu tiên là những hợp số có thừa số nguyên tố nhỏ nhất nhỏ hơn N mũ 1/k, tầng thứ hai là những hợp số có thừa số nguyên tố nhỏ nhất nằm trong khoảng N mũ 1/k đến N mũ 2/k, cứ thế tiếp tục cho đến tầng cuối cùng, những số còn lại đều là số nguyên tố.

Cách phân tầng này có ưu điểm là bên trong mỗi tầng, các con số theo một nghĩa nào đó đều "đồng đều", giúp sai số khi sàng tăng lên chậm hơn nhiều. Nhưng nhược điểm là số lượng tầng k chính là một tham số cần phải lựa chọn cẩn thận. Nếu k quá nhỏ, tầng không đủ, sai số vẫn sẽ tích tụ; nếu k quá lớn, tầng quá nhiều, độ phức tạp tính toán của mỗi tầng sẽ bùng nổ.

Tiểu Hách đã dành cả tuần để điều chỉnh tham số này, cuối cùng tìm ra một điểm cân bằng tinh tế. Điểm cân bằng này không phải là một con số cố định, mà là một hàm số phụ thuộc vào N, khi N thay đổi, tầng tối ưu cũng sẽ thay đổi theo. Anh viết hàm số này thành một nhóm công thức truy hồi, dày đặc đến nỗi chiếm trọn năm trang giấy nháp.

Bước thứ hai là gán trọng số. Sau khi phân tầng, những con số sàng ra từ mỗi tầng không thể cộng trực tiếp với nhau. Bởi vì những con số ở các tầng khác nhau đóng góp "phần" vào tổng đếm cuối cùng là không giống nhau, nếu cộng một cách thô bạo, sẽ giống như trộn lẫn tiền xu các mệnh giá khác nhau rồi đếm, kết quả thu được sẽ vô nghĩa.

Tiểu Hách cần gán cho mỗi tầng một trọng số. Trọng số này phải phản ánh chính xác mức "quan trọng" của con số trong tầng đó đối với sự phân tích Goldbach. Nói cách khác, nếu một con số càng dễ xuất hiện dưới dạng cộng tử nguyên tố của số chẵn lớn, thì trọng số của nó càng phải cao hơn những con số khác.

Ý tưởng này vốn không mới. Trong chứng minh "1+2" của Trần Cảnh Nhuận, ông ấy đã từng sử dụng phương pháp sàng có trọng số, chỉ là hàm trọng số ông ấy dùng và hàm trọng số Tiểu Hách xây dựng hoàn toàn là hai thứ khác biệt. Trọng số của Trần Cảnh Nhuận là một hàm tương đối đơn giản, tĩnh tại, còn trọng số Tiểu Hách cần phải là một toán tử động, thay đổi theo từng tầng.

Anh đặt tên cho toán tử này là "hàm trọng phân tầng", biểu thị bằng chữ omega Hy Lạp kèm theo chỉ số dưới.

ω₁ là hàm trọng cho lớp đầu tiên, ω₂ là của lớp thứ hai, cứ thế tiếp tục.

Mỗi ωᵢ đều là một ánh xạ từ tập hợp số nguyên vào khoảng [0,1], thỏa mãn một hệ điều kiện tương thích cực kỳ phức tạp.

Và phải mất bốn ngày trời ông ấy mới suy ra được hệ điều kiện tương thích ấy.

Khi dấu bất đẳng thức cuối cùng cuối cùng cũng lặng lẽ định hình trên tờ giấy nháp, ông thở phào nhẹ nhõm.

Ông đặt tên cho phương pháp ấy là: Phương pháp sàng phân tầng.